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Beitrag |
    
achmed rhein (Graf_Zahl)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 15:23: | 
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Aufg.2(a): Sei k eine Natürliche Zahl. Zeige durch vollständige Induktion über k, dass
(i) 5| 2^(4k)-1,
(ii) 5| 2^(4k+1)-2,
(iii)5| 2^(4k+2)-4 und
(vi) 5| 2^(4k+3)-3.
Aufg.2(b): Zeige: Eine Zahl der Form 2^n-1 (n el N) ist genau dann durch 5 teilbar, wenn n durch 4 teilbar ist.
2a) Induktionsanfang:
1° k=1 in Formel einsetzen Aussage ist w
2° k=l+1
Und wie geht´s nur weiter, oder bin ich nur einfach blöd?
Aufg3: Beweise, dass fur alle natürlichen Zahlen n gilt:
(1/(1*3))+(1/(3*5))+...+(1/((2n-1)*(2n+1)))<1/2
- umformen
(1*3)+(3*5)+...+((2n-1)*(2n+1))< 2
summenzeichen (n*(n+2)) < 2
...? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 18:14: |
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2^(4*(k+1))-1 = 2^(4k+4)-1 = 16 * 2^(4k) - 1
= 16 * (2^(4k) -1) + 16 -1
Und da nach Induktionsvoraussetzung 2^(4k)-1 durch 5 teilbar ist und 16-1=15 ebenso, ist alles bewiesen.
Man muß eben so umformen, daß man sieht, was man sehen will.
Gruß
Matroid |
Kai Seele (Chupacabra)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 19:43: |
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Hallo Leute die Aufgabe 3, könnte ich sehr gut gebrauchen. Wäre euch sehr dankbar wenn sie mir jemand erklären könnte. brauche sie aber schon bis morgen, ich hoffe es gibt hier ein Nachtschwärmer der mir die lösung der Aufgabe beschreiben kann. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 19:52: |
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Tut mir leid, ich löse keine Aufgaben, die Graf Zahl gestellt hat. Mach doch bitte einen neuen Eintrag mit Deiner Aufgabe.
Gruß
Matroid |
Kai Seele (Chupacabra)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 07:48: |
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Okay,
die Aufgabe lautet:
1/(1*3) + 1/(3*5) +....+ 1/[(2n-1)*(2n+1)] < 1/2
dies soll gelten für alle nEN.
wäre nett wenn ihr mir den Lösungsweg ein wenig erklären könntet, weil nur die Lösung bringt mich ja nicht wirklich weiter.
danke |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 12:00: |
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Hallo Kai,
das zeigt man nicht mit vollst. Induktion, wenigstens nicht direkt.
Man hat ja nichts davon, zu wissen daß S(n)<1/2 ist, wenn man zeigen will, daß S(n+1)<1/2.
Zur Lösung:
Ich definiere a(n) = 1/[(2n-1)(2n+1)].
Und S(n,m)=Sm i=n a(i), also die Summe über über m-n+1 Folgenglieder, beginnend bei a(m).
Beispiele
S(1,1)=S1 i=1 a(i) = 1/3
S(2,4)=S4 i=2 a(i) = 1/15 + 1/35 + 1/63 = 1/9
S(5,12)=S12 i=5 a(i) = 1/27
Die Anzahl der Summanden je Summe ist 1, 3, 9.
Von vorn beginnend kann man jeweils die nächsten 3k Summanden addieren (k>=0) und deren Summe ist gleich 1 / 3k+1.
Also:
Die ersten 30 Summanden addiert, ergibt 1/31.
Die nächsten 31 Summanden addiert, ergibt 1/32.
usw.
Läuft darauf hinaus, daß Sn i=1 a(i) <= Sx k=0 S(y,z) = Sx i=1 (1/3)i. Das ist eine geometrische Reihe mit q=1/3, der nur der i=0-Term fehlt. Mit 0-Term ist die Summe der geom. Reihe gleich (1-qn)/(1-q). Ohne 0-Term ist die Summe (1-qn)/(1-q) - 1. Mit q=1/3 kann man hier zeigen, daß das immer kleiner 1/2 ist.
Was muß man nun noch tun?
1. Eine Berechnungsvorschrift für x, y und z in Sn i=1 a(i) <= Sx k=0 S(y,z) angeben.
2. Mit Induktion beweisen, daß wirklich diese Summen für die passenden x,y,z wirklich gleich 1/3? ist.
Versuch mal, was Du auf diese Art erreichen kannst.
Gruß
Matroid |
xy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 19:45: |
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Hab die gleiche Aufgabe zu bearbeiten, komme mit dem Ansatz leider gar nicht klar.
Gibt es eine Möglichkeit, das mit vollständiger Induktion über n zu zeigen, wobei man sich zunutze macht, das 1/3+1/15+...+1/(2n-1)(2n+1) kleiner als 1/2 ist? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 20:08: |
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Nein, xy, das geht nicht.
Der Ansatz für den Beweis ist, daß man - wie ich schon geschrieben habe - die Summanden zu Gruppen zusammenfaßt (immer 3k Summanden, also erst 1, dann 3, dann 9 usw) und für jede Teilsumme (die nenne ich S(i,j) zeigt, daß sie kleiner oder gleich etwas ist.
Dabei hat man es mit sehr unangenehmen Indexrechnungen zu tun.
Aber um zu verstehen, was ich meine, kannst Du ja mal die Teilsummen bilden.
Auch wenn Du das dann nicht formal hinbekommst, hast Du dennoch etwas verstanden.
Gruß
Matroid |
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