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Carsten Hohnsel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 12:00: | 
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Hallo,
wie berechne ich den Homogenitätsgrad Alpha der Cobb-Douglas-Funktion
f(x,y) = Wurzel aus xy
Bitte ganz ausführlich (für Dumme) und einen Ablaufpaln, wie ich das für jede beliebige Funktion machen kann.
Wo wir gerade dabei sind.
K(x,y) = 300 - x^2y - xy^2 + 13 x , x,y >=0
x = 1 + y
Bestimmen Sie mit Hilfe des Ansatzes von Lagrange eine mögliche Minimalstelle von K(x,y)
Wie geht das und warum und worauf muß ich achten und so weiter.
Vielen Dank, wer auch immer mir Hilft
Carsten |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 10:34: |
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Hi Carsten,
Zu Deiner Frage betr. Homogenitätsgrad.
Definition für Funktionen mit zwei Variablen:
Die Funktion z = f(x , y) heisst homogen vom
Grad r (r reell) ,wenn für alle reellen Zahlen a
gilt:
f( ax , ay ) = a ^ r * f ( x , y ) .
Beispiele
1) Für die Funktion z = f( x , y ) = x * y gilt:
f(a*x , a*y) = ax * ay = a ^ 2 x*y = a ^ 2 * f ( x , y )
Die Funktion ist homogen vom Grad r = 2.
2) Für f( x , y ) = wurzel [x*y] gilt:
f( a* x , a * y ) = wurzel [(a*x) * (a*y) ] =
= wurzel [a ^ 2* x * y ] = a ^ 1 * wurzel [x * y ]
Diese Funktion ist homogen vom Grad r =1
3) Für f ( x , y ) = (x ^ 3 + x y ^ 2 ) / ( y ^ 3 + x ^ 2 y) gilt:
f ( a*x , a*y )
= (a^3*x^3 + ax * a^2* y^2) / (a^3*y^3 +a^2*x^2*ay)=
= [a^3*(x^3+x y^2)]/ [a^3*(y^3+ x^2 y)]
(a^3 hebt sich weg), also
= a ^ 0 * f (x ,y)
Diese Funktion ist homogen vom Grad r = 0.
4) Für f(x,y) = x^2 *y^4 gilt:
f(ax,ay) = a^2 * x^2 * a^4 * y^4 = a^6* x^2 * y^4
= a^6 * f ( x , y )
Somit: r = 6.
5) f (x , y ) = {x^3 + x * y^2 + x^2 * y} ^ 0 .1
f(ax , ay ) = {a^3*x^3 + a^3 * x* y^2 + +a^3* x^2 y}^ 0.1
= [ (a^3) ] ^ 0,1 * f(x,y) ,
somit r = 3* 0,1 = 0.3
Das sollte genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 13:01: |
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Hallo Carsten,
Es bleibt noch deine 2. Frage:
Ich nehme an, die Funktion heißt:
K(x,y)=300-x²y-xy²+13x (und nicht 300 -x2y-xy²+13x}
===================
Bezeichnen wir die Bedingung: x=1+y mit
g(x,y)=1+y-x
dann gibt es nach Lagrange eine Zahl l, so dass gilt:
ÑK(x,y) = l*Ñg(x,y)
==========================================
In Komponentenschreibweise:
Wir brauchen zunächst die partiellen Ableitungen.
¶K/¶x = -2xy-y²+13
¶K/¶y = -x²-2xy
¶g/¶x = -1
¶g/¶y = 1
also:
-2xy-y²+13 = -l
-x²-2xy = l
1+y-x = 0
======================
Aus diesen 3 (blauen) Bestimmungsgleichungen lassen sich nun die drei Unbekannten x,y,l ermitteln:
Ergibt:
x=-1
y=-2
l = -5
und
x=2
y=1
l=-8
===============
Das erste Trippel fällt weg weil außerhalb des vorgegebenen Bereichs.
Eine mögliche Minimalstelle von K(x,y) ist also (2; 1)
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Anmerkung: Ob es tatsächlich eine Minimalstelle ist, müsste näher untersucht werden. Dies ist jedoch nicht gefragt. |
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