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Beitrag |
    
Erni
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 16:41: | 
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Man zeige, dass Differentialgleichungen der Form
y`= f(ax+by+c) mit b>0 durch die Substitution
v = ax+by+c gelöst werden können.
Man löse mit dieser Methode die Differential-gleichung: y`= (8x+2y+1)². |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 21:55: |
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Hi Erni,
Das geht so:
Substitution u (x,y) = ax + by + c
Ableitung nach x:
u' = a + by'
Werden u und u ' in die gegebene DGl. eigesetzt,sokommtà
u ' = a + b * f(u)
Die Variablen lassen sich jetzt trennen:
du / { a + b*f(u) } = dx
Integration beider Seiten: Ermittlung von u(x) und
Rücksubstitution führt zum Ziel
Beispiel
y ' = (8 x + 2 y + 1) ^ 2 , mit u = 8 x + 2y + 1 erhalten wir:
u' = 8 + 2 * y ' = 8 + 2 * u ^ 2
Separation der Variablen:
du / ( 8 + 2* u ^ 2 ) = dx
Integration:
1/8 * int [ du / {1 + (u /2) ^ 2} ] = x + c
¼ * arc tan ( u / 2 ) = x + c
u = 2* tan (4*x+C)
Substitution rückgängig gemacht:
8x + 2y + 1 = 2* tan ( 4*x + C) oder
y = tan (4*x + C) - 4*x - ½ als Schlussresultat.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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