    
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 15:23: | 
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Hi Sammy
Fur jede komlexe Zahl z¹1 laesst sich die geometrische Summe Sn k=0zk explizit darstellen als:
(zn+1-1}/(z-1)
In unserem Fall bist z=1+i, und n=19, also setzen wir das einfach ein:
((1+i)20-1)/i
Jetzt kommt das Problem, wie man die zwanzigste Potenz von z ausrechnen soll. Dafuer gibt es aber einen Trick: Jede komplexe Zahl laesst sich neben der Darstellung mit Real- und Imaginaerteil auch mit dem Btrag und dem Winkel zur positiven x-Achse in der Gau?schen Zahlenebene darstellen:
Das ist auch nicht nur eine intuitive Vorstellung, sondern laesst sich alles beweisen.
Also, wie auf dem Bild gearde gesehen, hat 1+i den Betrag wurzel(2), und den Winkel 45°. Das laesst sich bei der Multiplikation gut ausnutzen, denn multipliziert man zwei Zahlen, so multiplizieren sich die Betraege, und die Winkel addieren sich, also ist (1+i)20:
Betrag: wurzel(2)20=210=1024
Winkel: 45° * 20 = 90° * 10 = 180° * 5 = 360° + 360° + 180°, die Vollkreise fallen weg, und die 180° bezeichnen die Lage auf der negativen rellen Achse, also ist unsere gesuchte zahl:
=(-1024-1)/i=-1025/i=1025i.
viele Gruesse
SpockGeiger |
