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Maw (Maw)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 10:13: | 
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Erstmal die Aufgabe:
seien f: M->N und A,B Teilmenge M.
Beweise oder widerlege:
a) f(A) schnitt f(B)=f(A schnitt B) -> f injektiv
b) f injektiv -> f(A) schnitt f(B)=f(A schnitt B)
so jetzt die Frage ,wie löse ich die Aufgabe bzw. wie finde ich einen Ansatz?
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
DANKE |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 23:05: |
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Hi Maw,
widerlegen wir mal a)
Widerlegen kann man mit einem Gegenbeispiel. Etwa:
M=N={1,2}. f(1)=1, f(2)=1, A={1},B={1,2}. Dann ist f({1})schnitt f({1,2})={1} = f(A schnitt B), aber f ist nicht injektiv, denn f(1)=f(2), obwohl 1!=2.
Wenn schon a) nicht gilt, dann gilt vermutlich b) [wegen der Psychologie der Aufgabensteller].
Zeigen muß man das, durch
*) f(A) schnitt f(B) ist Teilmenge von f(A schnitt B)
und
**) f(A schnitt B) ist Teilmenge von f(A) schnitt f(B)
Zuerst *)
Wenn xef(A) schnitt f(B), dann ist xef(A) und xef(B). Jeweils existieren aeA und beB mit f(a)=x und f(b)=x. Wegen Injektiv folgt, daß a=b. Folglich gibt es ein Urbild von x in A schnitt B.
Darum ist x in f(A schnitt B). ok.
Nun **)
Sei aeA schnitt B. Dann ist a in A und in B. Also auch in A schnitt B. Folglich ist f(a) in f(A schnitt B).
Damit ist gezeigt, daß die beiden Mengen auf der rechten Seiten von b) gleich sind.
Gruß
Matroid
PS: für den Beweis von *) wurde das Argument der der Injektivität benutzt. Für den Beweis von **) aber nicht. Also gilt **) immer, aber *) nicht immer. |
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