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Sascha (Gull)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 10:10: | 
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Hi. Ich benötige unbedingt Hilfe bei folgender Aufgabe:
M1, M2 seien endliche Mengen mit |M1|=|M2| und
f: M1-->M2 eine Abbildung zwischen ihnen.
Beweise die Äquivalenz der folgenden drei Eigenschaften:
a) f injektiv
b) f surjektiv
c) f bijektiv
Vielen Dank. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 21:41: |
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Hi Sascha,
es genügt a <=> b zu zeigen, denn dann ist c auch bewiesen.
Zuerst b=>a
Wenn f surjektiv, dann ex. für jedes yeM2 ein xeM1 mit f(x)=y. M2 hat n=|M2| Elemente, also gibt es wegen surjektiv auch n Urbilder in M1 für die Bilder aus M2 unter f. Es sind darum alle Bilder von Werten aus M1 verschieden, d.h f ist injektiv.
Wenn nämlich für x1, x2 e M1 gelten würde f(x1)=f(x2), dann würde ja die Menge alle Bilder von Elementen aus M1 unter f höchstens n-1 Elemente haben und damit gäbe es ein yeM2, das kein Urbild unter f in M1 hat. Das widerspricht aber der Voraussetzung "f surjektiv".
Nun a=>b
f injektiv :<=> f(x1)=f(x2) => x1 = x2
Oder umgekehrt formuliert:
f injektiv :<=> f(x1) != f(x2) => x1 != x2
Für die n verschiedenen Elemente x in M1 sind also alle Bilder f(x) verschieden. Die Menge alle Bilder von Elementen aus M1 unter f enthält also n Elemente. Das bedeutet, daß jedes yeM2 auch Bild eines xeM1 ist, d.h. f surjektiv.
Gruß
Matroid |
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