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Beitrag |
    
Andy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 16:57: | 
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Sei xeR,neN,a(i)eZ für i e{0,1,...,n-1} und es gelte
x^n+a(n-1)*x^(n-1)+...+a(1)*x+a(0)=0
Zeigen Sie: entweder ist xeZ oder x nicht eQ.
Hinweis: Benutzen Sie die gekuerzte Darstellung einer rationalen Zahl.
Kann mir jemand helfen? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:36: |
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Hi Andy,
was man zeigen muß, ist dass eine Lösung x, von der man annimmt, dass sie in Q ist, bereits in Z ist.
Sei also x eine Lösung aus Q, dann gibt es eine gekürzte Darstellung x=p/q mit ggt(p,q)=1.
Diese Darstellung setze ein und multipliziere mit qn. Dann hat man:
pn + an-1*pn-1*q + an-2*pn-2*q2 + ... + a1*p*qn-1 + a0*qn = 0
oder pn = bn-1*pn-1*q + bn-2*pn-2*q2 + ... + b1*p*qn-1 + b0*qn mit bi = -ai.
Was sieht man daran? Auf der rechten Seite ist q als Faktor in jedem Summanden enthalten. Darum muß q ein Teiler von pn sein. Weil ggt(p,q)=1 ist also q=1. Also x=p/1, also xeZ.
Gruß
Matroid |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:50: |
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Hallo Andy
Nehmen wir also eine gekuerzte Darstellung einer Loesung dieser Gleichung: p/q mit p aus Z, q aus N, und ggT(p,q)=1, und setzen das ein:
(p/q)n+an-1(p/q)n-1+...+a1(p/q)+a0=0
Nun multiplizieren wir die Gleichung mit qn-1, und bringen alles ausser dem ersten Summanden auf die rechte Seite:
pn/q=-an-1pn-1-an-2pn-2q+...-a1pqn-2+a0qn-1
Wenn wir uns jetzt die Gleichung anschauen, stellen wir fest, dass auf der rechten Seite nur Summen und Produkte von ganzen Zahlen stehen, also insgesamt eine ganze Zahl, also muss auf der linken Seite auch eine ganze Zahl stehen, also wir pn von q geteilt. Demnach haben p und q gemeinsame Teiler, was der Voraussetzung widerspricht, oder q ist 1, woraus folgt, die Loesung (p/q) ist eine ganze Zahl.
viele Gruesse
SpockGeiger |
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