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feboll
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 16:19: | 
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hallo!
ich versuche mich seit einigen tagen mehr oder weniger erfolglos an dem iduktionsbeweis fuer die multinominalformel:
(ist ein bischen bloed aufzuschreiben (
(Summe ueber k=1 bis m von a(index k)) hoch n = summe ueber [( j (index k), (summe ueber k=1 bis m von j (index k)= n] (n!/(produkt von k=1 bis m von j (index k)!)) * produkt ueber k=1 bis m von (a (index k)) hoch (j (Index k))
(schreibt es einfach auf ein blatt dann siehts gut aus LOL)
KENNT JEMAND DEN MULTINOMINALSATZ ODER DEN BEWEISS??? Hilfe |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:46: |
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Hi feboll,
ich würde Induktion über m versuchen.
Für m=1 ganz klar. Für m=2: Binomische Formel.
Für m+1 schreibe Sm+1 k=1 ak = (Sm k=1 ak)+am+1 und wende darauf die Binomische Formel an. Was dabei herauskommt, muß man geschickt und fehlerfrei in die für m+1 zu zeigende Darstellung der rechten Seite umformen.
Eine Seite Schreibarbeit ist dafür wohl nicht ungewöhnlich.
Gruß
Matroid |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:50: |
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Hallo feboll
Die Induktion kriege ich leider nicht auf die Reihe, mit Kombinatorik wuerde es glaube ich am einfachsten gehen, aber fuer die Leserlichkeit (wobei das hier noch fraglich ist;) habe ich die Formel aufgeschrieben:
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 14:34: |
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Hallo feboll, Hallo Matroid
Nachdem ich das Posting von Matroid gelesen habe, dachte ich, das kann nicht sein, man kommt auf derart komplizierte Gleichungen hinaus, dass man damit nicht weiterkommt. Dann habe ich aber, um mich selbst davon zu ueberzeugen, es nachgerechnet, und bin tatsaechlich zu einem Ergebnis gekommen. Moral: Ich habe mich mal wieder geirrt, und vielen Dank an Dich, Matroid:
Induktionsanfang sollte, wie ueblich, klar sein.
Induktionsschritt: m -> m+1
(Sm+1 k=1ak)n=(Sm k=1ak+am+1)n
Nach der BInomischen Formel ergibt das:
Jetzt ersetzen wir den Binomialkoefizienten durch seine Definition in der Fakultaet-Schreibweise, und setzen die Induktionsvoraussetzung ein, wobei ik die Indizes darstellen soll, fuer die Sm k=1ik=i gelten soll:
Das i! in der geklammerten Summe kuerzt sich weg. Zusaetzlich ziehen wir alle Faktoren in die geklammerte Summe rein (Distributivgesetz):
Was jetzt auffaellt ist, dass der letzte Faktor am+1n-i/(n-i)! genau in das Produkt reinpasst mit einer Indexmenge, deren Summe gerade n ist, da ik Summe i hat, und n-i dazukommen. Nun noch folgende Ueberlegung: ik enthaelt alle Moeglichkeiten der m Exponenten mit Summe i, dazu kommt dann der Exponent n-i von am+1, aber dass ganze steht nochmal in einer Summen fuer i von 0 bis n, daher durchlaeuft n-i auch alle Zahlen von 0 bis n, also werden tatsaechlich alle Indexmengen jk fuer m+1 Elemente durchlaufen mit Sm+1 k=1=n:
Und das ist genau die Formel fuer m+1, also die Behauptung.
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 14:39: |
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Hallo
Ich versuchs nochmal mit den Bildern.
Bild 1:
Bild 2:
Bild3:
Bild4:
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