| Autor |
Beitrag |
    
Suppenhuhn
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 14:37: | 
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Wie wahrscheinlich ist es, daß von n Menschen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?
(Sieht auf den ersten Blick leicht aus, isses aber nicht) |
MysticPhoenix
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 18:35: |
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Beschreibung des Problems
Wie groß ist die Chance, daß bei einer beliebigen Gruppe von Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? Ab welcher Zahl von Personen würde es sich lohnen, darauf zu wetten, daß dies bei mindestens zwei Personen der Fall ist? Man könnte vermuten, daß es sich um eine relativ große Gruppe handelt, unter Umständen um eine Gruppe von mindesten 50 Personen.
Lösungsversuch
Man geht von 366 Tagen aus, wobei man der Einfachheit halber alle Geburtstage als gleich wahrscheinlich ansieht, obwohl der 29.02. nur alle vier Jahre auftritt und es auch statistisch erwiesen ist, daß manche Monate fruchtbarer sind als andere.
Man betrachtet zunächst den einfachsten Fall von zwei Personen. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese beiden Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, beträgt 1/366.
Bei drei Personen muß man die Fälle betrachten, daß entweder zwei dieser Personen oder alle drei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. An diesem Beispiel läßt sich schon erkennen, daß es einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit auszurechnen, da in diesem Fall lediglich die Wahrscheinlichkeit berechnet werden muß, daß jede Person an einem anderen Tag Geburtstag hat und diese von 1 subtrahiert werden muß.
Mathematische Umsetzung und Lösung
Die Gegenwahrscheinlichkeit läßt sich zunächst als Produktfolge schreiben, da verschiedene Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden müssen. Die Wahrscheinlichkeit wird durch einen Bruch berechnet, bei dem im Zähler die Anzahl der günstigen und im Nenner die Anzahl der möglichen Fälle steht. Die Anzahl der möglichen Fälle, also die Anzahl der möglichen Geburtstage, beträgt bei jeder Person 366; die Anzahl der günstigen Fälle, in diesem Fall also die Geburtstage, die noch nicht belegt sind, beträgt bei der zweiten Person 365, bei der dritten Person 364 usw., so daß sich die Folge als
P(x)= "Produktzeichen" von k=2 bis n für 367-k/366
schreiben läßt, wobei n für die Anzahl der Personen steht.
Der Ausdruck hinter dem Produktzeichen, bei dem die Zahlen von 365 abwärts miteinander multipliziert werden, läßt sich durch einen Fakultäts-Ausdruck darstellen, bei dem 365! durch die Fakultät der Differenz von 366 und der Anzahl der Personen dividiert wird, so daß sich die unerwünschten Zahlen wegkürzen.
So ergibt sich die Formel:
P(x)=1/366 hoch n-1 mal 365!/(366(-n)!
Ist diese Wahrscheinlichkeit P(X) nun kleiner als ½, ist es wahrscheinlicher, daß mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.
Da sich die Gleichung nur schwierig auflösen läßt, ist es einfacher, den Wert für verschiedene Anzahlen von Personen zu berechnen. Problematisch ist die Berechnung der Fakultäten, die die Kapazität der meisten Taschenrechner sprengen. Wenn man vermeiden will, die einzelnen Faktoren alle einzeln zu multiplizieren, so läßt sich der zweite Teil der Gleichung als
365 über 366-n mal (n-1)!
berechnen. So lassen sich zwar auch nicht alle Kombinationen berechnen, aber zumindest bei bis zu 120 Personen gibt es keine Probleme mit der Berechnung. Werte für mehr Personen zu berechnen ist ohnehin nicht unbedingt lohnenswert. Denn:
Man stellt fest, daß schon bei 23 Personen die Wahrscheinlichkeit knapp über 50% liegt, daß zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Bei 40 Personen beträgt sie bereits knapp 90 % und bei 50 Personen sind 97 % erreicht.
Für Nachfragen stehe ich gerne zur Verfügung.
Mystic Phoenix |
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