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Ungleichung zeigen/beweisen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » Ungleichung zeigen/beweisen « Zurück Vor »

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salto
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Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 22:23:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich versuche vergebns schon seit 2 Tagen folgende Ungleichung zu beweisen (sie stimmt wirklich):

1-x² > srqt( (6/7)² - x² ) für -6/7 <= x <= 6/7

Ich habe schon alles versucht und verschiedene Formen der Ungleichung gehabt, z.B.

x^4 - x² + 13/49 > 0

Aber nichts bringt mich weiter.
Hat da vielleicht jemand eine Idee????

Gruß
salto
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 01:04:   Beitrag drucken

Hallo salto

Es klingt jetzt bestimmt ungewoehnlich, andererseits finde ich es schoen, dass man hier verschiedene Bereiche zusammenbringen kann:

Wenn der Term, den Du als letztes angegeben hast, aequivalent zu der Ausgangsgleichung ist, kannst Du doch die lokalen Extrema betimmen, deren Funktionswerte sind positiv, und da diese Fuktion fuer x gegen plus oder minus unendlich gegen plus unendlich geht, sind alle Funktionswerte groesser 0, und damit dann doch die Behauptung bewiesen.

viele Gruesse
SpockGeiger
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salto
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 13:04:   Beitrag drucken

Hallo!

Danke für die Antwort!!
Leider habe ich vergessen zu erwähnen, daß ich es mit dem Extremum nicht beweisen darf... Diese Lösung wäre mir nämlich auch naheliegend.
Es geht hier aber um die

Anordnungsaxiome

(nächstes mal werde ich mich präziser ausdrücken).

Also wäre hier denkbar z.B. Bernoulli-Ungleichung, Binomische-Formel oder eben sochle Sachen. Aber ich finde einfach keine Form der Ungleichung, mit der ich das hier anwenden könnte.
Ich brauche eigentlich nicht eine fertige Lösung, sondern nur eine Idee oder einen Tip.

Ich hoffe, jemand kann mir helfen.


Gruß
salto
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Stefan
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 23:11:   Beitrag drucken

hallo!

Wie kann man den am besten beweisen, dass das geometrische Mittel kleiner gleich dem arithmetischen Mittel ist?
Induktion habe ich schon ausprobiert, aber...
Bitte um Hilfe!
danke stef
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 17:46:   Beitrag drucken

Für zwei reele Zahlen ist das
arithm. Mittel ma = (a+b)/2
geomet. Mittel mg = w(a*b)
Das geom. Mittel ist nur für positive a,b definiert.
Ich betrachte nun die Differenz
ma - mg und werde zeigen, daß diese Differenz immer größer gleich null ist.
Daraus folgt ja dann, daß ma >= mg.

Also:
ma - mg = a/2 + b/2 - w(ab)
= w(aa)/2 + w(bb)/2 - w(ab)
= w(aa)/2 + w(bb)/2 - w(ab)/2 - w(ab)/2
= [w(aa) - w(ab)]/2 + [w(bb) - w(ab)]/2
= w(a)*[w(a) - w(b)]/2 + w(b)*[w(b) - w(a)]/2
= [w(a)-w(b)] * [w(a) - w(b)]/2
= [w(a)-w(b)]2/2
Das ist immer positiv!

Das war der Fall mit zwei Zahlen.

Nun Induktionsschluß:
Gegeben n+1 positive Zahlen ai aus R. n>=2
Dann gilt
arithm. Mittel = Sn+1 i=1 ai/2
= Sn i=1 ai/2 + an+1/2
= 1/2 * Sn i=1 ai + an+1/2
Das ist also das arithm. Mittel der Zahlen Sn i=1 ai und an+1.
Für zwei Zahlen haben wir schon gezeigt, daß das arithm. Mittel größer gleich dem geom. Mittel ist.

Darum gilt:
1/2 * Sn i=1 ai + an+1/2 >= w((a1*a2*...*an)*an+1)
= w(a1*a2*...*an*an+1)
Fertig. Also doch mit Induktion.
Gruß
Matroid

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