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Beitrag |
    
Alex
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 14:59: | 
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Aufgabe:
Zeigen, daß durch: x~y genau dann, wenn x-y durch 12 teilbar ist, auf der Menge der ganzen Zahlen Z eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
Wie sieht die entprechende Quotientenmenge Z12* aus?
*"12" ist Index von Z ! Über die Tastatur leider kein Tiefstellen möglich!
Kann mir da jemand helfen, und mir das (möglichst ausführlich) erklären. DRINGEND!
Vielen Dank schonmal! |
Dea
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 17:24: |
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Hallo Alex,
eine Äquivalenzrelation ist dann gegeben, wenn eine Relation die 3 Bedingungen erfüllt: reflexiv, symmetrisch und transitiv.
reflexiv:x~x, x-x=0, 0 ist durch 12 teilbar
symmetrisch:x~y=>y~x, also x-y ist durch 12 teilbar, damit ist auch -(x-y) durch 12 teilbar, -(x-y)=y-x, y-x ist also auch durch 12 teilbar, daher gilt auch y~x
transitiv:x~y und y~z=>x~z
x-y ist durch 12 teilbar, d.h. x-y=12a, x=12a+y
y-z ist durch 12 teilbar, d.h. y-z=12b, z=y-12b
x-z=12a+y-(y-12b)=12a+y-y+12b=12a+12b=12(a+b)
daher ist auch x-z durch 12 teilbar, es gilt x~z
Nun ist die Äquivalenzrelation bewiesen.
Leider weiss ich nicht, was Quotientenmengen sind. Eine Äquivalenzrelation teilt die Menge, auf der sie gegeben ist, in Äquivalenzklassen, vielleicht meinst Du das. In diesem Fall sind das Mengen von ganzen Zahlen, deren Differenz durch 12 teilbar ist, also
Z0={...,-24,-12,0,12,24,...}
Z1={...,-23,-11,1,13,25,...}
Z2={...,-22,-10,2,14,26,...}
...
Z11={...,-13,-1,11,23,35,...} |
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