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Esther
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 09:26: | 
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Wer kann mir in kleinen Schritten, ausführlich und für Doofe erklären, wie man zeigt, daß die Menge Z (ganze Zahlen) abzählbar ist, Ansatz
F:Z-->N ?
(Ich weiß zwar nicht, ob das wichtig ist, aber bitte KEINE Matrizen)
Was bedeutet f o g? |
Dea
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 13:42: |
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Hallo Esther,
ausführlich weiß ich das nicht, aber so ungefähr:
Fang bei 0 an zu zählen, dann zähl die 1, dann nochmal für -1, dann die 2, dann nochmal für -2, etc. so kannst Du alle ganzen Zahlen zählen.
f o g bedeutet Hintereinanderausführung von zwei Abbildungen/Funktionen, heißt f nach g, d.h. Du führst erst g aus und mit dem Ergebnis von g dann f. Also zum Beispiel:
f(x)=2x
g(x)=x-4
Denk Dir nun ein x, z.B. x=10
dann ist g(x)=10-4=6 und f(6)=2*6=12
also gilt (f o g)(x)=2(x-4)
und (f o g)(10)=2*6=12 |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 14:31: |
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Hi Esther
Die folgende Abbildung macht das:
fuer k>=0: f(k)=2k+1
fuer k<0: f(k)=-2k+2
Anschaulich wuerde das beduten: Du nimmst die linke Seite der ganzen Zahlen, klappst die um, und klemmst sie wie in einem Reissverschluss zwischen die natuerlichen Zahlen.
Zaunaechst mal ist diese Abbildung sinnvoll definiert, da alle Bilder in N liegen, ausserdem wird erstens jede natuerliche Zahl damit abgedeckt, denn jede gerade Zahl 2n hat als Urbild 1-n, und jede ungerade Zahl 2n+1 hat als Urbild gerade n. Zudem ist jede natuerliche Zahl genau einmal im Bild vertreten. Mathematisch sagt man zu der ersten Eigenschaft, die Abbildung waere surjektiv, bei der zweiten, sie sei injektiv. Beides zusammen heisst bijektiv und ist gleichzusetzen mit Umkehrbarkeit, denn zu jedem Bild gibt sowohl mindestens als auch hoechstens ein Urbild, also genau eines, somit kann man eine Abbildung definieren von der Zielmenge in die Urbildmenge, die die Umkerabbildung ist.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Cyberdemon
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 16:39: |
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Hi !
Hehe, noch ein(e) Plesken geschädigte(r) ;-)
Naja,
ich habe es so gelößt :
Du sollst es mit Hilfe des Satzes 1.22 Beweisen,
der sagt, daß wenn es sind um eine endliche Menge handelt, folgendes gilt :
Ist die Menge injektiv, so ist sie auch surjektiv.
Ist die Menge surjektiv, so ist sie auch injektiv.
(Bitte beachte, daß diese Formulierung nur hier zutrifft, weil Z auf Z abgebildet wird.
Du nimmst jetzt einfach an, das Z endlich sei, und versuchst einen Widerspruch zu erhalten (indirekter Beweis).
Nach dem Satz ließe sich dann aus 1 die 2 folgern, also müßte wenn Z injektiv ist, es auch gleichzeitig surjektiv sein (weil wir uns Z als eine endliche Menge vorstellen, und deshalb aus 1 die 2 folgen sollte (Satz 1.22)).
Es genügt nun, ein Gegenbeispiel dafür zu zeigen, daß Z nicht surjektiv ist, obwohl es injektiv ist.
Ich habe folgendes Beispiel genommen :
Z->Z x|->2x
Die Menge Z ist injektiv, weil ein Funktionswert niemals doppelt auftritt (lineare Funktion).
Jedoch ist Z nicht surjektiv, weil der Funktionswert 1 niemals angenommen wird :
...
f(0)=0
f(1)=2
...
Hier ist unser gesuchter Widerspruch ;-)
also ist Z keine endliche Menge (aus 1 folgt
nicht 2 (Satz 1.22)), also ist Z unendlich. q.e.d.
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen,
und daß der Plesken irgendwann nochmal
auf "normalsterbliches Niveau" herunterkommt ;-)
Bis dann,
cu Cyberdemon |
:-
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 15:31: |
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Hallo Cyberdemon!
Wenn Du hier schon meine Lösungen veröffentlichst, dann bitte auch richtig...
:-)
Die Menge Z ist nicht injektiv / surjektiv...
Mengen können garnicht injektiv / surjektiv sein...
Die Funktion f ist injektiv / surjektiv... |
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