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Andi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 08:16: | 
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Wie kann ich folgende Gleichung lösen
x^6 + x^4 + x^2 + 2 = 0
Ist sicher ganz trivial aber ich habe keine Ahnung. Auf eine quadratische Gleichung reduzieren geht ja wohl nicht. |
dakir
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 16:03: |
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Hallo Andi,
auf eine quadratische Gleichung kannst Du diese Gleichung zwar nicht reduzieren, aber mit der Substitution u = x² erhälst Du eine kubische Gleichung:
u³ + u² + u + 2 = 0.
Nun wird die Sache etwas komplizierter, da man durch Ausprobieren oder etwas ähnliches auf keine Lösung kommt. (Oder weil ich auf nem Schlauch stehe).
Mit der Substitution u = s - 1/3 erreicht man, daß in der neuen Gleichung kein quadratisches Glied mehr vorkommt:
s³ + ps + q = 0 (Die Koeffizenten p und q mußt Du halt per Hand ausrechnen, ist aber nur eine Konzentrationsübung, einfach u durch s - 1/3 ersetzen und rechnen...)
Nun kommt ein kleiner Trick:
Wir substituieren s mit y + z.
(y + z)³ + p(y + z) + q = 0
y³ + z³ + 3y²z + 3yz² + p(y + z) + q = 0
y³ + z³ + 3yz(y + z) + p(y + z) + q = 0
y³ + z³ + (3yz + p)(y + z) + q = 0
Wir hatten ja s mit y + z substituiert, d.h. wir haben zwei Variablen y und z, für die wir bis jetzt nur eine Bedingung festgelegt haben, wir haben also noch eine Bedingung "frei":
Hierfür wählen wir 3yz + p = 0 <=> z = -p/3y, das hat den Effekt, daß in der Gleichung ein Term verschwindet.
y³ - p³/27y³ + q = 0 (mult. mit y³)
(y³)² + qy³ - p³/27 = 0
Durch eine Substitution w = y³ erhält man ein quadratische Gleichung, die Du lösen kannst. Aus w, kannst Du y bestimmen und aus y kannst Du x berechnen. Bedenkte hierbei, daß die Gleichung w = y³ drei komplexe Lösungen hat.
Wenn Du noch Fragen hast, melde Dich!
Viel Glück dabei, Daniel |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 22:56: |
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Hi Andi,
kommt drauf an, in welcher Lösungsmenge man die Lösungen sucht. In R gibt es sicher keine Lösung, denn alle Summanden sind positiv. Suchst Du Lösungen in C?
Gruß
Matroid |
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