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Komplexe Zahlen

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Andy
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 16:55:   Beitrag drucken

Zeigen Sie, dass jede quadratische Gleichung z^2+az+b=0 mit komplexen Koeffizienten a.b Lösungen in C hat, und bestimmen Sie diese.

Danke schon mal, falls es jemand auf die Reihe bringt. Ich bin jedenfalls mit meinen Versuchen in der Sackgasse gelandet!

Andy
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dakir
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 20:03:   Beitrag drucken

Hallo Andy,

Du kannst entweder allgemein den Fundamentalsatz der Algebra beweisen (der besagt, daß jedes komplexe Polynom n-ten Grades n Nullstellen hat), oder etwas einfacher Dich an die Schule erinnern und es ganz analog zur Herleitung der "Mitternachtsformel" beweisen:

z² + az + b = 0
z² + az + a² / 4 = a² / 4 - b (hier habe ich eine quadratische Ergänzung vorgenommen, so daß auf der linken Seite eine binomische Formel steht)
(z + a / 2)² = a² / 4 - b
Auf der rechten Seite steht nun eine komplexe Zahl. Aus komplexen Zahlen kann man aber immer Wurzeln ziehen. Dann steht also, wenn ich die beiden Wurzeln a² / 4 - b mit w1 und w2 bezeichne, da:

z + a / 2 = w1 oder z + a / 2 = w2
z = w1 - a / 2 oder z = w2 - a / 2

Viel Glück, Daniel
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 21:49:   Beitrag drucken

Hallo dakir,

ich hatte die Aufgabe auch gesehen und mich gefragt was man wohl voraussetzen darf.

Ich erinnere mich, daß C konstruiert wird, als minimale Körpererweiterung von R, in der x2=-1 lösbar ist. Das "überraschende" ist dann, daß aus der Lösbarkeit von x2=-1 der Fundamentalsatz der Algebra folgt. Ich halte es daher (abhängig von dem, was man als schon bekannt oder bewiesen voraussetzen darf) für gewagt, zu sagen "weil man aus komplexen Zahlen immer die Wurzel ziehen kann". Das kann man zunächst nur für -1.

Was ist Deine Meinung?
Viele Grüße
Matroid

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