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Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 11:56: | 
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Hi Leute!
Wie beweist man bitte mathematisch korrekt, dass Wurzel 6 eine irrationale Zahl ist?
Danke!
Euer Fischtowner |
LSDXTC
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 15:40: |
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Ich würde sagen ungefähr so wie beim Beweis von Wurzel 2.
An diesem Beispiel: (Widerspruchsbeweis von Euklid)
Wurzel 2 ist ein hypothetischer Bruch. Er wird durch den Ausdruck p/q dargestellt, wobei p und q ganze Zahlen sind.
1.) Eine beliebige Zahl die mit 2 multipliziert wird muss gerade sein.
2.) Wenn das Quadrat einer Zahl gerade ist, muss auch die Zahl selbst gerade sein.
3.) Brüche können vereinfacht werden 8/12 ist das gleiche wie 4/6 und wie 2/3. 2/3 kann nicht weiter vereinfacht werden, es ist unmöglich einen Bruch unendlich oft zu vereinfachen.
Euklid geht, zwecks Widerspruch, davon aus das für Wurzel 2 tatsächlich ein Bruch p/q existiert.
Folge: Wurzel 2 = p/q
Quadrieren
2^=p^2/q^2
2q^2=p^2
Nach 1.) muss p^2 gerade sein; nach 2.) dann auch p. Wenn p gerade ist kann es als 2m geschrieben werden, wobei m eine andere Zahl darstellt.
Setzen wir 2m in die Gleichung ein:
2q^2=(2m)^2=4m^2
q^2=2m^2
Nach dem gleichen Argument muss sowohl q^2 als auch q gerade sein. Ist dies der Fall, dann kann q als 2n geschrieben werden; wobei n eine weitere ganze Zahl ist.
Also: Wurzel 2=p/q=2m/2n
Ausdruck vereinfachen: Wurzel 2=m/n
m/n ist nun einfacher als p/q.
Usw. usw. usw.
3.) sagt das Brüche nicht unendlich oft vereinfacht werden können. Es muss immer einen einfachsten Ausdruck geben. Der ursprüngliche Bruch p/q gehorcht dieser Regel offenbar nicht.
Dadurch sind wir zu einem Widerspruch gelangt. Könnte Wurzel 2 als Bruch geschrieben werden, wäre das Ergebnis absurd, somit kann Wurzel 2 nicht als Bruch geschrieben werden.
Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl !! |
Klotz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 03:03: |
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Da hab' ich auch noch eine etwas plausiblere Lösung. Bis zum 2q²=p² ist alles klar. Jetzt stellen wir uns p und q als Produkte von Primfaktoren vor. P² und q² Haben demnach die gleichen Primfaktoren, nur dass jeder doppelt ist (p*p bzw. q*q). Das bedeutet, dass die Anzahl der Primfaktoren von Quadratzahlen gerade sein muss. Da q² aber noch mit 2 multipliziert wird, kommt auf der linken Seite noch ein weiterer Primfaktor hinzu, der die Gesamtanzahl auf dieser Seite ungerade macht. Und schon sind wir beim Widerspruch, denn die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren ist eindeutig und bringt immer nur ein Ergebnis. |
LSDXTC
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 16:55: |
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Hi Klotz,
welche Definition hast du von Primfaktoren, bzw. Primzahlen ?
1.)Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und 1 teilbar ist.
2.)Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie genau(nur) zwei natürliche Teiler hat.
Stell dir also vor p^2 ist 9, demnach ist p=3.
Nach 1.) wären die Primfaktoren 1 und 3.
Nach 2.) geht das aber nicht, da nach dieser Definition 1 keine Primzahl ist.
MfG LSDXTC |
Jörg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 23:56: |
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Hi LSDXTC!
So wie ich die Sache sehe, ist die "offizielle" Definition einer Primzahl, die, daß eine Primzahl genau zwei natürliche Teiler hat, also Deine Definition 2.). Wenn das nicht so wäre, wäre die
Primfaktorzerlegung nicht eindeutig, da z.B.
15=1*3*5 und 15=3*1*1*1*5 usw.
Weil aber 2.) die Definition ist, gilt Klotz' Argument.
Oder habe ich das Problem möglicherweise falsch verstanden???
Jörg |
Krümel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 13:41: |
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Hallo, wer kann mir bei der folgenden Aufgabe das Phänomen erklären :wir müssen die Reihe der Quadratzahlen aufschreiben und uns die einerstellen genauer ansehen. Dabei fällt auf, dass sich diese in der Reihenfolge 1, 4, 6,9, 5, 6, 9, 4, 1, immer wiederholen.Woran liegt das.Wenn jemand die Antwort weiss, so wäre es echt schön, wenn ich eine Antwort bekäme.Sitzte total auf dem Schlauch.Schon mal im Voraus vielen Dank. |
Luise
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 17:57: |
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Hilfe!
Wie zeigt man
lim x*ln(x) = 0 für x gegen 0 ? |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 19:10: |
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Hallo Luise,
Trick : man möchte den Satz von l'Hospital anwenden:
möchte man den Grenzwert von einem Bruch berechnen, dann kann man Zähler und Nenner des Bruches ableiten und den Grenzwert dieses Bruches aus Ableitungen berechnen. Existiert dieser Grenzwert, dann hat auch der ursprüngliche Bruch denselben Grenzwert.
schreibe also x*lnx als Bruch
für x > 0 ist x*lnx = lnx /(1/x)
die Ableitung von ln x ist 1/ x, die Ableitung von 1/x ist -1/x^2
der Bruch der sich aus diesen Ableitungen ergibt ist:
1/x / (-1/x^2) =-x^2/x =-x, der Grenzwert für x gegen 0 von -x ist 0, also existiert auch der Grenzwert von ln x /(1/x)und auch er ist 0, d.h. der Grenzwert für x gegen 0 von x*lnx ist 0 |
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