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Beitrag |
    
Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 11:53: | 
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Hi Leute!
Wer kann das beweisen?
a^2 <= b^2 => a <= b
Vielen Dank schon jetzt!
Euer Fischtowner |
Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 11:54: |
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Soll natürlich bedeuten:
a^2 <= b^2 daraus folgt: a <= b |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 17:09: |
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Hi Fischtowner,
das kann man nicht beweisen, denn es ist falsch! Oder hast du eine zusätzliche Voraussetzung an a und b verschwiegen? |
Ralph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 17:43: |
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Sei a=-2 und b=-3.
Dann gilt a^2=4 und b^2=9.
Somit b <= a, aber a^2 <= b^2.
Damit ist das ganze dann wohl nicht mehr so richtig.
Hier der Beweis für a,b>=0:
a^2 <= b^2 /dividiert durch b^2, Ungleichung bleibt, da b^2 >= 0
a^2/b^2 <= 1
(a/b)(a/b) <= 1 /a,b >=0, daher auch a/b >= 0
a/b <= 1 /Ungleichung bleibt, da b>=0
a <= b
Fertig. Hoffentlich ist das richtig... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 18:27: |
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Hi Ralph,
bei "da b² >= 0" in der sechten Zeile verwendest du das, was du eigentlich beweisen willst.
Den Schluss von (a/b)(a/b) <= 1 auf a/b <= 1 kann ich auch nicht so ohne weiteres nachvollziehen. |
Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 20:01: |
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Sorry, ich muß zugeben, dass ich einige nicht ganz unwichtige Bedingungen verschwiegen habe. ;)
Die ganze Geschichte funktioniert natürlich nur bei a >= 0 und b >= 0. Aber wie beweist man das nun?
Danke für Eure Mühe! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 20:39: |
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Aus 0 < a < b folgt einerseits
aa < ab
und andererseits
ab < bb.
Also
a² = aa < ab < bb = b²
Oder? Was dürft ihr an Voraussetzungen (Regeln, Gesetze) verwenden. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 20:46: |
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Oha, ich sehe gerade, dass die andere Richtung gefragt ist. Dann also indirekt:
Es sei a² <= b².
Angenommen, es gilt 0 < b < a.
Dann folgt b² < a² (siehe mein Beitrag von eben).
Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 21:07: |
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Hi Zaph,
ich habe lange herumgerätselt, ich komme einfach nicht drauf, warum du um 19:27 Uhr gesagt hast:
bei "da b² >= 0" in der sechten Zeile verwendest du das, was du eigentlich beweisen willst.
Oder hast du das nur im Glauben daran gesagt, die andere Richtung (a£b Þ a²£b²) wäre gefragt?
Gruß, Bernd |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 20:59: |
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Da hast du wohl Recht, Bernd! Eine andere Erklärung für meinen Einwand habe ich jetzt auch nicht.
Hast du verstanden, wie Ralph von
(a/b)(a/b) <= 1
auf
a/b <= 1
gekommen ist? Hier verwendet er doch das, was er beweisen will, oder? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 22:13: |
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Hi Zaph, ich sage es mal so: so, wie es da steht, ist für mich mindestens ein Schritt übergangen worden, ich kann es nicht nachvollziehen.
Dass er das zu beweisende bereits verwendet, kann ich allerdings leider auch nicht erkennen.
Darf ich dich auf eine andere Sache, die mir unklar ist, aufmerksam machen? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 01:21: |
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Hi Zaph:
Die Sache hinter dem Link :Hat sich erledigt |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 22:48: |
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Hi Zaph,
ich beziehe mich jetzt auf dein letztes Wort mit Fragezeichen in "...beweisen will, oder?", und vermute deswegen, dass du dir nicht ganz sicher bist, wenn du "oder?" fragst
und wage daher mal den Versuch einer Erklärung für den Schluss von (a/b)(a/b) £ 1 auf a/b £ 1:
Wenn ich das richtig verstehe, dann behauptet Ralph doch: "aus x2 £ 1 folgt x £ 1" (wobei x=a/b), oder nicht?
Dies zu zeigen, probiere ich mal durch indirekten Beweis:
Es gilt x2 £ 1.
Annahme des Gegenteils von dem, was gezeigt werden soll:
Daraus folge x>1
wenn x>1, also die linke Seite (x) größer als die rechte (1) ist, dann kann man die linke Seite mit was größerem multiplizieren und die rechte mit 1, und erhält eine wahre Ungleichung:
=> x*x > 1*1,
x2>1, dieses steht im Widerspruch zu x2 £ 1, also muss, da die Aussage "x2 £ 1" als wahr vorgegeben war, der Schluss "Daraus folge x>1" falsch gewesen sein, denn alle weiteren grünen Folgerungen waren, jede für sich betrachtet, doch richtig. (Oder?)
Also muss gelten:
x2 £ 1 => x £ 1
Also gilt mit x=a/b auch
(a/b)(a/b) £ 1 => a/b £ 1
Oder nicht?
Gruß B |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 11:59: |
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Hi Bernd,
beim Schluss von x² <= 1 auf x <= 1 wird die Behauptung für a = x und b = 1 verwendet.
Dein Beweis von "x² <= 1 => x <= 1" ist vom Prinzip eine Spezialisierung des Beweises der allgemeineren Aussage "a² <= b² => a < b".
Oder wie oder was?
Gruß
Z. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 16:25: |
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Hi Zaph, eigentlich habe ich nur versucht, die Argumentation aus deinem Beitrag vom Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 21:46 zu übertragen. Das schlimme ist jetzt aber, dass ich gar nicht glaube, dass das so geht, es scheint irgendwie eine Lücke zu bestehen, nochmal das ganze, nummeriert:
Es geht darum, zu zeigen:
von
(a/b)(a/b) <= 1
auf
a/b <= 1 zu kommen.
Dazu ersetze a/b=x und zeige dementsprechend x²£1 => x£1:
(0) Ausgangsvoraussetzung: x²£1.
(1) Angenommen, es gilt x>1.
(2) multipliziere beide Seiten mit x (x>1>0, also x>0) <=> x²>x
(3) nach (2) und (1) gilt x²>x und x>1, und damit auch x²>x>1, also auch x²>1
(4) die letzte Aussage in (3) steht im Widerspruch zur Ausgangsvoraussetzung in (0), also muss die Annahme (1) falsch gewesen sein.
(5) Wenn die Aussage "x>1" falsch ist, muss ihr Gegenteil, "x£1", richtig sein.
(6) Also gilt die Folgerung x²£1 => x£1.
Meine Frage: darf man das so machen wie in den letzten 7 Zeilen? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 22:16: |
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Na klar darfst du das so machen! Bei welchem Schritt hast du Gewissensbisse? Das einzige Gesetz, was du über "<" verwendest, ist
a < b und c > 0 => a c < b c
Wenn du dieses Gesetz natürlich anzweifelst, kommst du in Argumentationsschwierigkeiten. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 00:21: |
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Hi Zaph,
wenn man das so machen darf, ist es ja ok.
Ich hatte irgendwie Zweifel, weil ich die Aussage (0) gar nicht weiter verwendet habe, ich weiß aber jetzt auch kein Beispiel mehr, weil alle vermeintlichen Gegenbeispiele, die ich mir jetzt eben ausgedacht habe, sich als nicht haltbar ergeben haben.
Dass man Fischtowners Voraussetzung a³0 und b³0 stillschweigend voraussetzt, war mir fast unbewusst klar. Für die Fälle a=0 oder b=0 oder a=0=b ergibt sich ja ganz trivial die Behauptung (wobei ich keine Def. von "trivial" geben kann).
Was mich jetzt noch bewegt:
Meinst du den Satz in grün vom 7.Dez, den du nicht akzeptieren kannst:
wenn x>1, also die linke Seite (x) größer als die rechte (1) ist, dann kann man die linke Seite mit was größerem multiplizieren und die rechte mit 1, und erhält eine wahre Ungleichung:
=> x*x > 1*1
Ein anderer Schritt fällt mir nicht ein, den du am 10.Dez mittags gemeint haben kannst.
Dass die Schritte (1) bis (3) noch "schlüssiger" klingen, um "x>1 => x²>1" zu zeigen, ist mir jetzt auch klar, aber was ist an dem Satz unzureichend?
Ich kann es, wie gesagt, nie (oder sehr selten) erkennen, ob das zu beweisende unerlaubterweise in der Argumentation vorkommt.
- nicht dringend -
Gruß, Bernd |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 18:41: |
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Doch, du verwendest (0), nämlich im Schritt (4).
Wie kommst du darauf, dass ich etwas an deinem Beweis nicht akzeptieren kann? Der grüne Satz ist OK. Es ist nur etwas umständlich, das so zu machen:
Erst führst du (bzw. Ralph) die allgemeine Aussage auf einen Spezialfall zurück und beweist dann den Spezialfall. (Immerhin hast du ihn bewiesen, im Gegensatz zu Ralph.)
Wenn der Spezialfall einfacher zu beweisen wäre, als die allgemeine Aussage, wäre solch ein Vorgehen in Ordnung. Aber in diesem Fall ist der Spezialfall m. E. genauso einfach oder kompliziert wie die allgemeine Aussage.
Hoffe, die Missverständnisse sind nun beseitigt. |
Peer (Peerd)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 01:15: |
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Ein später aber schicker Beweis:
1. Fall a = 0 und b = 0 (trivial) Stimmt !
Alle anderen Fälle :-)
a^2 <= b^2
<=> a^2 - b^2 <= 0
<=> (a+b) (a-b) <= 0 ( Wir teilen durch a+b , denn das ist sicher ungleich 0
<=> a-b <= 0
<=> a <= b
Schön oder ? |
Peer (Peerd)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 01:25: |
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Hoppla !
Die Äquivalenzen sind natürlich Blödsinn
und die Voraussetzungen sind wie oben erwähnt
a,b >= 0
Jetzt ist es aber schön ! |
sonny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 09:58: |
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Hallo Peer,
die Äquivalenzen sind abe nicht falsch unter der Annahme a,b >= 0 .
sonny |
Peer (Peerd)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juli, 2001 - 00:32: |
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so it is - die tageszeit macht so unkreativ ;-) |
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