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Beitrag |
    
Maria
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 21:58: | 
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Eine Prüfung besteht aus 12 Fragen, die mit ja oder nein zu beantworten sind. Sie gilt bei mind. 8 richtigen Antworten als bestanden.
i) Ein Student kreuzt auf gut Glück die Antworten an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?
ii) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn er 2 Fragen mit Sicherheit beantworten kann und nur den Rest zufällig ankreuzt?
iii) Falls er gar nichts weiss, wäre es für ihn günstiger, auf gut Glück 6-mal ja und 6-mal nein anzukreuzen, vorausgesetzt, dass für genau 6 Fragen die richtige Antwort ja lautet? |
Dea
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 15:42: |
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Hallo Maria,
i) P = günstige / mögliche.
Für jede Aufgabe sind 2 Möglichkeiten gegeben, entweder kreutzt der Student richtig an oder falsch. Es gibt daher 2^12 mögliche Ankreuzmuster.
Günstig sind nur diejenigen, bei denen der Student besteht, in dem Fall mindestens 8 richtige Antworten. Mindestens 8 heisst 8 oder 9 oder 10 oder 11 oder 12 richtige Antworten.
Für 12 richtige Antworten gibt es genau eine Möglichkeit, d.h. 1 Ankreuzmuster. Bei 11 richtigen Antworten ist eine falsch. Da jede der 12 Fragen die falsch beantwortete sein kann, gibt es 12 Möglichkeiten, 11 richtige Antworten zu geben, genauer (12 über 1). Bei 10 richtigen Antworten sind 2 falsch, hier gibt es (12 über 2) Möglichkeiten, genau 10 richtige Antworten zu geben; etc.
Gesamt nun:
P(bestanden)=((12über0)+(12über1)+(12über2)+(12über3)+(12über4))/2^12
=(1+12+66+220+495)/2^12
=794/4096 also knapp 0,2
ii)das ist die gleiche Aufgabe wie oben, nur müssen hier mindestens 6 Fragen von 10 richtig beantwortet werden, also
P(bestanden)=((10über0)+(10über1)+(10über2)+(10über3)+(10über4))/2^10
=(1+10+45+120+210)2^10
=386/1024 also knapp 0,38
iii)das muss ich noch überlegen |
Dea
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 17:11: |
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Hallo Maria,
jetzt hab ich auch die iii):
In diesem Fall muss man ganz anders vorgehen. Wir stellen uns die 12 Fragen als binäres Muster vor. Für jede Frage, die man mit nein beantworten sollte eine 0, für die, bei denen ja die richtige Antwort ist, eine 1. Dann ist die richtige Lösung der Prüfung eine Binärzahl mit 12 Stellen, davon 6 Nullen und 6 Einsen. Dem Studenten ist bekannt, daß genau 6 Fragen mit Ja, d.h. 1 zu beantworten sind. Betrachten wir im folgenden zu Vereinfachung lediglich die Verteilung der Einsen.
Dann brauchen wir erstens die Anzahl der Möglichkeiten, die es gesamt gibt, 6 Einsen auf 12 Stellen zu verteilen:
Anzahl der Möglichkeiten = (12über6) = 924
Wichtig ist nun die Anzahl der Günstigen zum Bestehen der Prüfung, wieder braucht der Student mindestens 8 richtige Antworten.
Für 12 richtige Antworten gibt es genau eine Möglichkeit, klar. Kann der Student 11 richtige Antworten geben? Sicher nicht, denn wenn er 11 Fragen beantwortet hat, z.B. mit 6mal Ja und 5mal Nein, bleibt nur ein Nein übrig, und wenn die 11 Antworten richtig waren, ist auch die 12. richtig, da die Verteilung 6 Ja und 6 Nein bekannt ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun für 10 richtige Antworten?
Angenommen, der Student "trifft" von 6 Einsern genau 5, dann kreuzt er an einem Nuller eine Eins an, d.h. an den übrigen 5 Nullern hat er auch Null geantwortet und am 6. Einser Null. Oder: auf 6 Einser platzierte er 5 Einser und auf 6 Nuller platzierte er 1 Einser. Das gilt natürlich genauso umgekehrt, d.h. er "trifft" 5 von 6 Nullern und 1 von 6 Einsern. Gesamt gilt mathematisch:
(6über5)*(6über1)=6*6=36.
9 richtige Antworten sind genausowenig möglich wie 11.
Bei 8 richtigen Antworten "trifft" der Student von 6 Einsern 4 und damit von 6 Nullern 2 und umgekehrt. Mathematisch:
(6über4)*(6über2)=15*15=225.
Zusammengefasst:
P(bestanden)=günstige/mögliche
=(1+36+225)/924=262/924 ca. 28,5%
Es existiert übrigens eine einfache Kontrollmöglichkeit, ob diese Rechnung richtig ist:
gesamt gibt es (12über6) Möglichkeiten zum Ankreuzen:
0 richtige 6über0)*(6über6)=1*1=1
2 richtige6über1)*(6über5)=6*6=36
4 richtige6über2)*(6über4)=15*15=225
6 richtige6über3)*(6über3)=20*20=400
8 richtige6über4)*(6über2)=15*15=225
10 richtige6über5)*(6über1)=6*6=36
12 richtige6über6)*(6über0)=1*1=1
Summe:1+36+226+400+225+36+1=924
Hoffentlich habe ich mich halbwegs verständich ausgedrückt, ist schriftlich nicht ganz leicht.
Sonst bitte rückfragen |
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