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Andy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 20:09: | 
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Man nennt eine Menge A gleichmächtig zu einer Menge B, A~B, falls es eine Bijektion f:A->B gibt.
Man zeige:
(a) ~ ist eine Äquivalenzrelation.
(b) N~Z (nat.Zahlen~ganzen Zahlen)
(c) [0,1)~R+(pos.reelle Zahlen)
(d) Keine Menge M ist zu ihrer Potenzmenge P(M) gleichmächtig
ich brauch dringend hilfe!
ich weis nicht wie ich das Zeug aus der Vorlesung hierraus anwenden soll! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 21:01: |
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(a)
Reflexiv : A und A sind offensichtlich gleichmächtig
Symmetrisch : wenn f eine Bijektion von A auf B ist,gibt es ein f-1,welches Bijektion von B auf A ist,also ist B auch gleichmächtig zu A
Transitiv : A~B und B~C => es gibt Bijektionen f:A->B und g:B->C dann ist auch gof:A->C Bijektion und somit A und C gleichmächtig.
(b)Definiere f(1)=0 , f(2n)=n und f(2n+1)=-n dann ist f:IN->Z bijektiv.
(c)f:[0,1)->[0,a),x->ax ist bijektiv für beliebige aÎIN
(d) Für endlich Mengen klar,weil N:={ {m} | mÎM }cP(M),aber im unendlichen Fall ??
*schulterzuck* |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 00:50: |
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Hallo Andy, Hallo Ingo
Ist ja eigentlich ne unhoefliche Geste, an den Loesungen anderer zu meckern, aber bei c) kann ich ingo nicht zustimmen:
Du hast "nur" gezeigt, dass man dass Intervall [0,1) auf jedes beliebige Intervall [0,a) bijektiv abbilden kann, daraus folgt aber nicht so ohne weiteres, dass man es auch auf R+ bijektiv abbilden kann.
Ich moechte hier nur zeigen, wie man (0,1) auf R+ abbildet, bzw. [0,1) auf R+0, sonst macht die 0 etwas Schwierigkeiten, da sie etwas "ueberfluessig" erscheint; die Abbildung wird etwas komplizierter, da man etwas technischer werden muss. Aber es ist ja eigentlich egal, wenn man unednliche Mangen vergleicht, da die Hinzunahme von endlich vielen Elemnten nicht an dieser Relation dann aendert. Genug der Worte, hier die Abbildung, die eine der oben definierten Quell- und Zielbereiche hat:
f(x)=1/(1-x)-1
mit der Umkehrabbildung f-1(y)=y/(y+1).
Fuer d) faellt mir leider auch nichts ein.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Andy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 11:21: |
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vielen Dank an euch!
Andy |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 10:20: |
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Hi Andy
Kennst Du vielleicht inzwischen die Loesung fuer d?
viele Gruesse
SpockGeiger |
sputnik009
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 16:42: |
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Zu (d)
f: M --> P(M)
Es gibt wenigstens eine Menge X0 (Teilmenge) M, die bezüglich f kein Urbild besitzt. X0 ist nun die Menge aller derjenigen x(element)M, die nicht Element der x zugeordneten Menge f(x)(Teilmenge)M sind:
X0 := {x: x(element)M ^ x(nicht element)f(x)}
Angenommen, es gibt ein x0(element)M mit f(x0)=X0, so gilt dann x0(element)f(x0)<->x0(element)X0<->x0(nicht element)f(x0). Dies ist ein Widerspruch und unsere Annahne ist falsch also
(Es exist.ein)x:{x: x(element)M ^ x(nicht element)f(x)}es gibt keine 1-1-Abbildung der Menge M zu ihrer Potenzmenge P(M).
Betrachten wir die Korrespondenz
F:={(x, y): x(element)M ^ y(element)M ^ y(element)f(x))}, bei der offenbar BF(x) = f(x) (BF(x):={y: (x, y)(element)F) für alle x(element)M (da eine Abbildung von M auf P(M) bijektiv sein sollte, sind die Mengen BF(x) paarweiße verschieden) [...]
Die Menge X0 ist nun deshalb von allen Mengen f(x) mit x(element)M verschieden, weil sich X0 von einer beliebigen Menge f(x0) wenigstens im Element x0 unterscheidet (x0(element)f(x0)(sym. dif)X0). --> Cantorsches Diagonalverfahren |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 20:44: |
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Danke schoen
ich weiss zwar noch nicht ganz, ob ich es wirklich verstanden habe, aber ich denke schon. Ich verstehe aber nicht, warum wir nach "Dies ist ein Widerspruch..." noch was zu zeigen haben.
viele Gruesse
SpockGeiger |
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