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Mengen

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Kupfi
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Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 10:53:   Beitrag drucken

Sei M eine Menge mit n Elementen. Zeigen Sie

1. Die Anzahl der Teilmengen von M ist 2 hoch n.

2. Die Anzahl der Teilmengen von M mit einer geraden Anzahl von Elementen ist gleich der Anzahl der Teilmengen mit einer ungeraden Anzahl von Elementen.
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jones
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Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 14:53:   Beitrag drucken

Seien a,b element von R --------soll als Vereinigung von Intervallen geschrieben werden
M1:= { x element von R: |x-a| < |x-b| }
M2 := { x element von R: |x-a| < x-b }
M3 :={ x element von R: 1/x-1/(a-x)>0}
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 19:47:   Beitrag drucken

Hi Kupfi,
jedes Element von M kann in einer Teilmenge enthalten sein oder nicht. Für jedes Element gibt es also zwei Möglichkeiten. Bei n Elementen a1, a2, ... , an gibt es dann 2x2x...x2 = 2^n Möglichkeiten dafür, ob a1, a2, ..., an in der Teilmenge drin sind oder nicht. (Begründung ist zugegebenermaßen etwas unmathematisch ...)

Korrekter Beweis: Z. B. mit vollständiger Induktion. (Als Anregung siehe Teil 2.)

Zu 2: Mit vollständige Induktion.

Induktionsschritt: Sei |M| = n+1. Zeige: M hat 2^n viele Teilmengen mit geradzahlig vielen Elementen.

Eine Teilmengen von M mit geradzahlig vielen Elementen nenne ich in Zukunft "gerade".

Sei x ein Element aus M. Eine Teilmenge T von M kann x enthalten oder auch nicht.

Wenn T gerade ist und x nicht enthält, ist T bereits eine gerade Teilmenge von M \ {x}. Nach I.V. gibt es also 2^(n-1) Möglichkeiten für T.

Wenn T gerade ist und x enthält, ist T \ {x} eine ungerade Teilmenge von M \ {x}. Nach I.V. gint es auch hiervon 2^(n-1) Stück.

Zusammen also 2^(n-1) + 2^(n-1) = 2^n

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