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Kupfi
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 10:53: |
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Sei M eine Menge mit n Elementen. Zeigen Sie 1. Die Anzahl der Teilmengen von M ist 2 hoch n. 2. Die Anzahl der Teilmengen von M mit einer geraden Anzahl von Elementen ist gleich der Anzahl der Teilmengen mit einer ungeraden Anzahl von Elementen. |
jones
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 14:53: |
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Seien a,b element von R --------soll als Vereinigung von Intervallen geschrieben werden M1:= { x element von R: |x-a| < |x-b| } M2 := { x element von R: |x-a| < x-b } M3 :={ x element von R: 1/x-1/(a-x)>0} |
Zaph (Zaph)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 19:47: |
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Hi Kupfi, jedes Element von M kann in einer Teilmenge enthalten sein oder nicht. Für jedes Element gibt es also zwei Möglichkeiten. Bei n Elementen a1, a2, ... , an gibt es dann 2x2x...x2 = 2^n Möglichkeiten dafür, ob a1, a2, ..., an in der Teilmenge drin sind oder nicht. (Begründung ist zugegebenermaßen etwas unmathematisch ...) Korrekter Beweis: Z. B. mit vollständiger Induktion. (Als Anregung siehe Teil 2.) Zu 2: Mit vollständige Induktion. Induktionsschritt: Sei |M| = n+1. Zeige: M hat 2^n viele Teilmengen mit geradzahlig vielen Elementen. Eine Teilmengen von M mit geradzahlig vielen Elementen nenne ich in Zukunft "gerade". Sei x ein Element aus M. Eine Teilmenge T von M kann x enthalten oder auch nicht. Wenn T gerade ist und x nicht enthält, ist T bereits eine gerade Teilmenge von M \ {x}. Nach I.V. gibt es also 2^(n-1) Möglichkeiten für T. Wenn T gerade ist und x enthält, ist T \ {x} eine ungerade Teilmenge von M \ {x}. Nach I.V. gint es auch hiervon 2^(n-1) Stück. Zusammen also 2^(n-1) + 2^(n-1) = 2^n |
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