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Beitrag |
    
Karin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 18:10: | 
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Hallo!
Hab ein Problem...
Wie beweise ich folgendes:
Ich habe zwei endliche Mengen A und B. Dann haben A und B genau dann gleich viele Elemente, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
DANKE! |
dakir
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Oktober, 2000 - 14:43: |
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Hallo Karin,
wir müssen den Beweis in beide Richtungen führen, da es in dem Satz heißt "genau dann":
a) A und B seien endliche Mengen mit n Elementen. Die Elemente der Menge A seien a1..an, die Elemente der Menge B b1..bn. Dann ist durch die Funktion f: (a1 -> b1, ... , an -> bn) eine bijektive Abbildung gegeben.
b) Zwischen den endlichen Mengen A und B bestehe eine bijektive Abbildung. Es gilt zu zeigen |A| = |B| Ich führe einen Widerspruchsbeweis: Annahme n = |A| > |B| = m. Den "ersten" m Elementen aus A werden genau die m Elemente aus B zugeordnet (Da die Abbildung ja bijektiv sein muß). Jetzt bleiben aber noch n - m Elemnte in A "übrig", denen noch kein Element aus B zugeordnet wurde. Dies ist auch nicht möglich, da die Abb. nach Annahme bijektiv ist. Also ist |A| > |B| unmöglich. Ebenso ist |A| < |B| unmöglich. => |A| = |B| q.e.d
Kam vielleicht etwas spät, sorry.
Daniel |
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