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andrea (Kandrea)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 11:11: | 
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Vorgegeben ist ein Kegelstumpf. Wie muß ich vorgehen, um die Mantelfläche dieses Kegelstumpfs auf Papier aufzuzeichnen? Letztendlich soll dás ausgeschnittene Papier um die Mantelfläche herumgelegt werden können. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 12:06: |
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Und sowas ist heutzutage Universitätsniveau? |
andrea (Kandrea)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 14:14: |
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Nein, ich habe mich auch vertan. Aber eine Antwort hätte ich trotzdem gerne, oder ist das zuviel verlangt? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 14:53: |
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Hi Andrea ,
Wenn Du mir versprichst, dass Du künftig solche Aufgaben
im Sektor der Mittelstufe unterbringst,
löse ich Dir dafür nolens volens die vorgelegte Aufgabe.
Die Aufgabe ist elementar nur für Rotationskegel
( gerade Kreiskegel ) lösbar.
Du sollst zunächst eine Skizze vom Achsenschnitt
des ganzen Kegels K* und vom Kegelstumpf S, der zusammen
mit dem sogenannten Ergänzungskegel K wiederum K* ergibt,
herstellen.
Die gegebenen Daten von S sind:
Radius des Grundkreises: R
Radius des Deckkreises : r
Länge einer Mantellinie : s
Daneben berechnen wir beim Ergänzungskegel K:
Länge einer Mantellinie: t
Alpha sei der halbe Oeffnungswinkel des Kegels K*
und des Kegels K
(Winkel zwischen Achse und Mantellinie)
Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes erhalten wir
die Proportion:
t / ( s + t ) = r / R , daraus
t = r * s / ( R - r )..............................................................................(Gl. I ).
Jetzt ist eine zweite Skizze fällig:
Die Abwicklung des Mantels von K* und damit auch diejenige
Von K und S.
Diese Abwicklungen sind zu finden in einer Kreissektorfläche
M
mit dem Zentriwinkel sigma und dem Radius
L = t + s .
Diese Sektorfläche stellt die Abwicklung des Mantels von K* dar,
während die von Dir gesuchte Mantelfläche, zum gleichen Zentriwinkel gehörend , einen Kreisringsektor darstellt;
der kleine Radius ist t , der grosse L = t +
Wenn wir sigma, t und L kennen , kann der Mantel des Stumpfs
berechnet oder hergestellt werden
Den Zentriwinkel sigma bekommen wir so:
arc ( sigma ) = 2 * Pi * r / t , nach Gl (I) kommt :
arc ( sigma ) = 2* Pi * ( R - r ) / s
als Schlussresultat.
Anmerkungen
1. Der Zentriwinkel sigma hängt direkt mit dem
halben Oeffnungswinkel alpha zusammen
Wegen sin (alpa) = (R-r)/s erhält man die bequeme Formel.
arc (sigma) = 2 * Pi * sin (alpha)
2 Zum Abschluss sei eine etwas anspruchsvollere Aufgabe
erwähnt:
Ein Rotationskegel wird mit einer zur Achse schiefen Ebene
nach einer Ellipse geschnitten
Man konstruiere die Abwicklung des entsprechenden
"Kegelstumpfmantels", insbesondere die Wendepunkte
derjenigen Kurve, welche aus der abgewickelten Ellipse entsteht.
Das soll genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 20:47: |
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Hi
Zur Anmerkung zwei in meiner Antwort an Andrea
bezüglich der Konstruktion von Wendepunkten
bei Abwicklungskurven von Kegelschnitten sind Anfragen
eingetroffen, die ich global beantworten möchte.
Zur Konstruktion solcher Wendepunkte samt Wendetangenten
ist ein Satz des französischen Mathematikers
Theodor Olivier (1793-1852) nützlich.
Dieser Satz lautet:
Wenn eine Tangentialebene des Zylinders oder Kegels
senkrecht zur Schnittebene steht ,die zugehörige
Berührungsmantellinie dagegen nicht , wird der Schnittpunkt
der Berührungsmantellinie mit der Schnittkurve in der Abwicklung
zum Wendepunkt und seine Tangente zur Wendetangente.
An Andrea
Wäre die Berechnung anhand eines numerischen Beispiels zu Deiner
Frage hilfreich im Sinne eines AHA-Erlebnisses ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
gymi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 10:43: |
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Ich komm mit folgender Aufgabe nich klar:
Gegeben ist ein Kegelstumpf mit r1= 18mm r2= 11mm und h= 46mm. Berechnen sie den Neigungswinkel einer Mantellinie gegenüber der Grundfläche des Kegelstumpfes. |
Michael
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 12:16: |
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Skizziere Dir die Seitenansicht des kompletten Kegels. Es ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck. Zeichne die Schnittgerade ein. Sie ist 2*r2=22 mm lang ist ist h=46 mm von der Grundfläche entfernt. Fälle das Lot vom Schnittpunkt der Schnittgeraden mit einem Schenkel auf die Grundfläche. Das Lot hat damit auch die Länge h. Du erhältst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten h und (r1-r2) und der Hypothenuse auf der Mantellinie!
Der Neigungswinkel alpha ergibt sich aus:
tan(alpha)=h/(r1-r2)=6,5714 ==>alpha=81,35°!!! |
gymi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 17:01: |
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Vielen Dank Michael, du hast mir echt geholfen. Ciao "gymi" |
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