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Was heisst das, "ÄNDERUNGSRATE"`?...

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Johannes
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 16:46:   Beitrag drucken

Hallo Leute,

da plagt mich über die Ferien eine etwas komische Frage, komisch deshalb, weil mir kein Lehrbuch, ja sogar kein Uni-Buch, eine Antwort auf die Frage gibt, was die Änderungsrate bei naturwissenschaftlichen Problemlösungen mit Differentialgleichungen überhaupt ist...

Wie kann man sich das anschaulich vorstellen?

Angenommen, die Population einer Stadt wird durch die Lösung einer Differentialgleichung beschrieben. Was heisst das eigentlich anschaulich, wenn man im Jahr 02 die Änderungsrate 50.000 und im Jahr 03 die Rate 25000 hat?

Anderes Beispiel: Unter dem Begriff "jährlicher Zuwachs" stelle ich mir eine Funktion Z(x) vor, derart, dass

Z(x) = f(x+1)-f(x) gilt. (ich nehme hier steigende Bevölkerungsentwicklungen an!)

Warum aber wird dann folgendes Problem so gelöst:
"In welchem Jahr ist der jährliche Zuwachs am höchsten?"
Lösung laut Buch: Man nimmt die Ableitung der Funktion f, die das Wachstum beschreibt und bestimmt die Extrema. Warum aber nimmt man nicht obige Funktion Z?

Ich hoffe sehr, einer von Euch kann mir das beantworten, also vielen Dank im Voraus!

Johannes
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Fern
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 22:52:   Beitrag drucken

Hallo Johannes,
Nehmen wir mal an, die Bevölkerung steigt proportional einer Sinusfunktin. (Wir betrachten die Sinuskurve nur im ersten Quadranten, also x=0 bis pi/2). Die x-Achse ist also unsere Zeitachse.

Beginnend bei x= 0 wächst die Bevölkerung:
zuerst ist die Zunahme (pro Zeiteinheit) groß und nimmt dann allmählich ab. Diese Zunahme ist die Änderungsrate. Sie entspricht der Steigung der Tangente an die Kurve.

Die Zuwachsrate ist am größten, wenn die Steigung der Tangente am größten ist.

Nun wissen wir aber, dass diese Steigung nichts anderes ist als der Differenzialquotient der Funktion. (In unserem Fall also die Kosinusfunktion).

Die maximale Zuwachsrate ist dort wo der Kosinus (=Ableitung der Funktion) am größten ist, also bei x=0.
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Genauso verhält es sich bei deiner Z(x)-Funktion: Die Zuwachsrate ist dort am größten, wo die Z(x)-Funktion am steilsten ansteigt, dort wo ihre Ableitung ein Maximum hat.
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