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Lambda (Lambda)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 11:28: | 
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Hallo,
weiss einer von euch, wie man die Minima einer zwei dimensionalen Funktion bestimmen kann ? Also in meinem Fall habe ich eine f(x,y), deren partielle Ableitungen etwa folgendermassen aussehen:
(n*x - a)/sqrt(x^2 + y^2)
(sqrt heisst Wurzel; a und n sind Konstanten)
Wenn ich nun diese Ableitungen Null setze, dann kann ich den Nenner wegmultiplizieren, aber ist das denn zulaessig, wenn ich ALLE Minima bestimmen moechte. Wie macht man denn fuer eine solche Funktion eine korrekte und vollstaendige Kurvendiskussion, in der alle Moeglichkeiten fuer Minima und Maxima (und evtl. auch Sattelpunkte) behandelt werden ??
Vielen Dank schon mal :-) |
Lambda (Lambda)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 11:33: |
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Sorry, vielleicht hab ich mich zu ungenau ausgedrueckt:
Meine Funktion hat die beiden partiellen Ableitungen
(n*x - a)/sqrt(x^2 + y^2)
und
(n*y - c)/sqrt(x^2 + y^2)
wobei sqrt die Schreibweise fuer 'Wurzel' darstellt und a,n und c jeweils Konstanten sind. |
dakir
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 11:40: |
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Hi Lambda,
man muß den Gradienten, also den Vektor der partiellen Ableitungen 0 setzen. das ergibt in Deinem Fall x = a / n, y = c / n. Dieser Vektor (a / n, c / n) ist die einzige Möglichkeit für ein Extremum. Um nun zu überprüfen, ob es sich um ein Extremum handelt, mußt Du die zweite Ableitungen bilden. Dies ist in diesem eine 2x2-Matrix (Hesse-Matrix). Sie entsteht, indem Du die partiellen Ableitungen jeweils nochmals partiell nach den beiden Variablen ableitest. Dann setzt Du den Vektor von oben in diese Matrix ein, und überprüfst, ob diese Matrix positiv bzw. negativ definit ist. Ist sie p. => Min, ist sie n. => Max.
Viel Spaß dabei, Daniel |
Lambda (Lambda)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 14:52: |
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Hallo Daniel
Danke, dass Du Dich so schnell gemeldet hast. Aber in der Absicht, die Ableitungen zu vereinfachen, habe ich leider mein Problem nicht klar genug ausdrueken koennen:
Meine Ableitungen sind eigentlich superkompliziert:
\sum((x - m_i)(1 - k/(\sqrt((x - m_i)^2 + (y - n_i)^2)))
und
\sum((y - n_i})(1 - k/(\sqrt((x - m_i)^2 + (y - n_i)^2)))
Das Problem dabei ist, dass die einzelnen Ableitungen wie die urspruengliche Funktion zweidimensional sind und die beiden Variablen noch zusammen unter einer Wurzel stehen. Da es zudem noch eine Summe gibt, die von 1 bis n geht, kann man die einzelnen Wurzeln nicht zusammenfassen ...
Die Funktion ist sehr sehr uebel :-(
Sorry nochmal, wegen der Vereinfachung, die nicht nur vereinfacht hat, sondern alles verdreht hat. |
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