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Beitrag |
    
Andreas Bogavcic (Saubeer)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 23:51: | 
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Hallo,
ich suche einen Beweis für folgendes Problem:
Gegeben seien vier natürliche Zahlen a,b,c und d. Aus diesen Zahlen berechnet man nun die vier Zahlen:
|a-b|, |b-c|, |c-d| und |d-a|.
Aus diesen vier neuen Zahlen bildet man nun wieder die Beträge der Differenzen und so fort.
Die Behauptung ist nun, dass man nach endlich vielen Schritten immer vier Nullen als Ergebnis erhält.
Ich habe zwar schon einen Beweis dafür, aber leider ist er verdammt lang und unterscheidet ziemlich viele Fälle.
Ich studiere Mathematik und schleppe dieses Problem nun schon seit meinem Abi mit mir rum ohne auf die zündende Idee zu kommen.
Bitte helft mir!!! |
dakir
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 11:33: |
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Hallo Andreas,
kann sein, daß ich falsch liege, aber ich probiers mal:
a(0) = a
.
.
.
a(n+1) = |a(n) - b(n)|
.
.
.
Ich behaupte:
a(n+4) < a(n)
a(n+1) = |a(n) - b(n)|
Hieraus sieht man sofort a(n+1) <= a(n)
Ist b(n) nicht 0, so ist a(n+1) < a(n) und es folgt sofort a(n+4) < a(n).
Sei daher b(n) = 0.
Dann ist
a(n+1) = a(n)
b(n+1) = c(n)
c(n+1) = |c(n) - d(n)|
d(n+1) = |d(n) - a(n)|
a(n+2) = |a(n) - c(n)|
Ist hier jetzt c(n) nicht 0, so folgt sofort a(n+2) < a(n) und somit a(n+4) < a(n)
Sei also c(n) = 0
Dann ist
a(n+2) = a(n)
b(n+2) = d(n)
.
.
.
a(n+3) = |a(n) - d(n)|
d(n) ungleich 0 => a(n+3) < a(n) => a(n+4) < a(n)
Sei daher d(n) = 0.
Dann ist
a(n+3) = a(n)
b(n+3) = a(n)
a(n+4) = 0 < a(n)
Wir haben also gezeigt (mit doch ein paar Fallunterscheidungen), daß
a(n+4) < a(n)
Daraus folgt, da alle a´s natürliche Zahlen sind, daß sie irgendwann gleich 0 sind, anaolg die b, c, d.
Kann mir einer sagen, ob das halbwegs stimmt?
Danke, Daniel |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 20:53: |
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Hi Leute
Zu Dir Daniel, leider stimmt schon Dein Ansatz nicht a(n+1)<=a(n), denn fuer a(n)=1,b(n)=100 stimmt das nicht.
Leider kann ich mit einem Beweis auch nicht dienen.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Andreas Bogavcic (Saubeer)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 22:20: |
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Hi Daniel,
ich kann mich SpockGeiger nur anschliessen.
> Ich behaupte:
> a(n+4) < a(n)
Genau ... wenn man das beweisen kann hat man gewonnen, denn ich denke, dass diese Behauptung richtig ist.
> a(n+1) = |a(n) - b(n)|
> Hieraus sieht man sofort a(n+1) <= a(n)
Das hier ein Fehler ist, ist klar, aber genau hier liegt das Problem, was den Beweis (zumindest meinen) so lang werden lässt.
Deine Idee ist im Prinzip die gleiche, die ich auch hatte. Wenn man hier dann auch noch ein paar Fallunterscheidungen macht und sich noch zu Nutze macht, dass die Folge in Bezug auf die Maximumsnorm streng monoton fallend ist, dann ist man genau bei dem Beweis, den ich auch schon hatte.
Zu bewundern unter:
http://www.bogavcic.de/folge/
... ist ziemlich ausfühlich geschrieben.
Viele Grüße,
Andreas |
dakir
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 09:21: |
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Oh ja, das war wirklich ein dummer Fehler von mir gewesen.
Tut mir leid,
Daniel |
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