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Beitrag |
    
Lui
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 16:08: | 
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Die Aufgabe lautet: Y``+Y`-6=t³
homogene Gl. ist klar, wie lautet der Lösungsansatz yp=;yp`=;yp``=
für eine Lösung wäre ich dankbar!! |
Navratil
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 03:21: |
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hom. DGL: y"(t) + y'(t) = 0 hat Loesg. y(t)=c1e-t+c2
Variation der Konstanten: c1=c1(t), c2=c2(t)
=> ANSATZ y(t)=c1(t)*e-t+c2(t)
=> y'(t) = c1'(t)*e-t - c1(t)e-t + c2'(t)
frei waehlbare Bedingung fuer c1(t), c2(t): c1'(t)e-t + c2'(t) = 0 (*)
also y'(t) = -c1(t)e-t
=> y"(t) = -c1'(t)e-t + c1(t)e-t
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y' und y" eingesetzt in inhom. DGL y"+y'=t3+6
-c1'(t)e-t + c1(t)e-t -c1(t)e-t = t3 + 6
-c1'(t)e-t = t3 + 6 | * (-et)
c1'(t) = -t3et - 6et (**)
c1(t) = -ò t3etdt - 6ò etdt + c1
c1(t) = (-t3 + 3t2 - 6t + 6)et - 6 et + c1 wobei c1 jetzt eine neue Konstante sein soll
c1(t) = (-t3 + 3t2 - 6t)et + c1
aus willkuerlich gewaehlter Bed. (*) folgt fuer c2'(t):
c2'(t) = -c1'(t)e-t und mit c1'(t) aus (**)
c2'(t) = t3 + 6
c2(t) = t4/4 + 6t + c2 wobei c2 jetzt eine neue Konstante sein soll
in ANSATZ y(t)=c1(t)*e-t+c2(t) eingesetzt ergibt sich
y(t) = t4/4 - t3 + 3t2 + c1e-t + c2 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 06:12: |
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Hi Lui,
Die zu lösende Differentialgleichung (DGl)
ist vom Typus
inhomogene lineare DGl zweiter Ordnung mit (diesmal!)
konstanten Koeffizienten ;
f(t) = t ^3 + 6 ist die sogenannte Störfunktion, welche den
inhomogenen Teil ausmacht.
Wir bestimmen zuerst die allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung (Teil A)
Wir suchen dann durch einen besonderen Ansatz
eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. (Teil B)
Schliesslich bekommen wir die allgemeine Lösung der
inhomogenen Gleichung durch Superposition (Addition)
der Lösungen aus A und aus B
Teil A
Die charakteristische Gleichung lautet:
lamda ^ 2 + lambda = 0 ,woraus die Lösungen lambda1 = 0 ,
lambda 2 = - 1 folgen.
Damit erhält man die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
= c1 + c2 * e^ ( - t ) ; c1 ,c2 konst.
Teil B
Ansatz: y = a* t ^ 4 + b * t ^ 3 + c * t ^ 2 + d * t
Wir ermitteln die erste und zweite Ableitung, setzen die Resultate
in die inhomogene Gleichung ein und ordnen ;
aus der Identität
4 * a * t ^ 3 + ( 12 * a + 3 * b)* t ^ 2 + ( 6* b + 2*c ) * t + 2*c + d
= t ^ 3 + 6
folgt durch Koeffizientenvergleich:
4a = 1
12 a + 3 b = 0
6 b + 2 c = 0
2c + d = 6
Daraus berechnet man:
a = ¼, b = -1, c = 3 , d = 0
partikuläre Lösung:
y = ¼ * t ^ 4 - t ^ 3 + 3 * t ^ 2
Teil C
Die allgemeine Lösung lautet:
y = c1 + c2 * e ^ ( - t ) + ¼ * t ^ 4 - t ^ 3 + 3* t ^ 2
Ende !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 08:39: |
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Was "schwingt" hier? |
Lui
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 09:39: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Hallo Navratil,
danke für die ausführliche Lösung der Gleichung.
Ich habe eine Lösung die lautet:
homogen: c1*e^2t+c2*e^-3t
und die inhomogene: -1/6 t^3-1/12 t^2-7/36 t-13/216,
konnte dieses Ergebnis nicht nachvollziehen,
daher nochmal vielen Dank, und ein schönes Wochenende
Lui |
nobody
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 18:27: |
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Hi Lui, du hast die homogene Gleichung
y" + y' + 6 = 0 betrachtet.
die 6 gehört aber zum inhomogenen Teil. |
Lui
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 20:36: |
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Okay, wie würde sie denn lauten, wenn sie y``+ y`+ 6y = t³ geschrieben wird,
dann wäre der homogene Teil
lamda²+lamda`-6 =0
daraus folgt: yo=c1*e^2t + c2*e^-4t
wie lautet die Ableitung und die partielle Lösung? |
lui
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 21:33: |
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korrektur des letzten exponenten nicht -4t sondern -3t |
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