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Tipbier (Tip)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 16:06: | 
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Bestimmen Sie die Funktion f(x,y), deren vollständiges Differential df=(3y² - (1/x²)) dx +(6xy + cos y) dy lautet und die die Bedingung
f(1,1)=4 erfüllt.
welche Tangetialebene besitzt die Bildfläche dieser Funktion an der Stelle (x=1, y=1)?
ich bedanke mich voraus.
ciao
tip |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 19:13: |
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Hallo,
Da das totale Differenzial
df=¶f(x,y)/¶x*dx + ¶f(x,y)/¶y*dy ist
kann man die Funktion f(x,y) durch Integration ermitteln:
f(x,y)=ò (3y²-1/x²)dx
und
f(x,y)=ò (6xy+cos(y)dy
Das erste Integral ergibt: f(x,y)=3xy²+1/x+C1(y)
Das zweite Integral ergibt: f(x,y)=3xy²+sin(y)+C2(x)
Beide gleichgsetzt und die "Konstanten" aus f(1,1)=4 errechnet:
f(x,y)=3xy²+sin(y)+1/x)-sin(1)
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Für die Tangentialebene schreibt man die Funktion:
F(x,y,z)=3xy²+sin(y)+1/x-sin(1)-z=0
(Ich bezeichne die partiellen Ableitungen mit: Fx, Fy, Fz:
Gleichung der TE im Punkte (1,1,4):
Fx(x-1)+Fy(y-1)+Fz(z-4)=0
ergibt (falls ich mich nicht verrechnet habe):
2x+(6+cos(1))y-z=4+cos(1)
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SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 00:07: |
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Hi Fern
Ist bei Dir das totale Differential die Summe der partiellen Ableitungen? Wenn ja, dann verstehe ich die Notation ¶f/¶x*dx nicht. Ich habe die Notation der partiellen Abletungen ohne die rot markierten Zeichen gelernt. Was sollen sie denn bedeuten?
viele Gruesse
SpockGeiger |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 07:43: |
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Hallo SpockGeiger,
Das totale Differenzial ist NICHT die Summe der partiellen Ableitungen sondern der Ausdruck wie ich ihn angeschrieben habe.
Auch bei Funktion einer Variablen schreibt man:
dy = f'(x)*dx, das Differenzial.
Gruß, Fern |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 20:27: |
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Eine schöne Anwendung des vollständigen Differentials findet man in der Hydrodynamik. W(xi,t) sei eine (orts- und zeitabhängige) physikalische Größe der Flüssigkeit, zum Beispiel das Wetter. Wie ändert sich das Wetter für den mitströmenden Beobachter, ausgedrückt durch's ortsfeste Wetter?
dW = DW/Dxi *dxi + DW/Dt ("D" für partielle Ableitung, Summe über gleiche Indizes) oder dW/dt = DW/Dt + DW/Dxi *vi (vi = dxi/dt). Diese Konvektionsgleichung besagt sinngemäß, daß sich Wetter-Änderungen ergeben a) infolge Änderungen am Ort und b) durch die Reise an einen anderen Ort (daraus z.B. die EULERschen Bewegungsgleichungen für ideale Flüssigkeiten). F. |
ES
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 18:24: |
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hallo!
man ermittle die lösung des problems:
(xy-1)dx+(x/y)dy=0 ; y(1)=2
danke! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 22:26: |
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Hi ES
Wir lösen die DGl .nach y ' auf:
y ' = y / x - y ^ 2
Jetzt hilft offensichtlich die Substitution
y / x = u weiter:
y = x u ; y ' = u + x u'
Eingesetzt in die letzte DGl. gibt, nach Trennung
der Variablen und Wegheben des Faktors x :
du / u ^ 2 = - x dx ; Integration:
-1 / u = - x ^ 2 / 2 +C
Substitution rückgängig machen und nach y auflösen:
y = [2x ] / [x ^ 2 - 2 C]
Anfangsbedingung berücksichtigt:: C = 0
Führt auf y = 2 / x als Schlussresultat
Anm : x = 0 ist eine singuläre Lösung der gegebenen DGl.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Marc
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 07:45: |
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Hallo,
ich habe eine DGL 3. Ordnung, die kann ich nun entweder durch Substitution oder durch dieses Ersetzen mit e hoch ax lösen, doch warum bekomme ich nicht die gleiche Lösung? Oder habe ich einen Denkfehler??
Danke |
Jan
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 09:41: |
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Hallo Marc,
Öffne doch einen neuen Beitrag! |
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