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Rollmops
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 09:47: | 
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Who can help me, please?
Ich versteh das nicht!
Aufgabe: Es seien V der Vektorraum der (n,n) Matrizen über dem Körper K und A,B fest gegebene Matrizen aus V. Die lineare Abblidung phi: V-->V sei definiert durch phi: = AXB.
Zeigen sie:
a) Sind A und B Diagonalmatrizen, so ist die Abbildung phi diagonalisierbar. Geben sie in diesem Fall eine Basis aus Eigenvektoren an.
b) Sind A und B diagonalisierbar, so ist auch die Abbildung phi diagonalisierbar. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 16:50: |
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Hi Rollmops
a)
Sind A und B Diagonalmatrizen, so multipliziert A die j-te Zeile mit dem jj-ten Eintrag, waehrend B dasselbe bez. der Spalten macht. Dadurch ist es nicht schwer einzusehen, dass jede Matrix, die ausser an einer Stelle nur Nullen hat, ein Eigenvektor ist.
Davon gibt es n^2, und sie bilden eine Basis.
b krieg ich nicht geloest.
Abstraktionsschritte sind schwierig, eine Matrix als Vektor betrachten usw. Ich denke, da liegt auch Deine Schwierigkeit, daher moechte ich noch was dazu sagen: Betrachztest Du die Matrizen nur mit der Addition und der Skalarmultiplikation, so bilden sie einen Vektorraum, seine Dimension ist n^2. Das ist einerseits naheliegend, da es n^2 Eintraege gibt, andererseits kann man leicht zeigen, dass die Einheitsmatrizen (ein Eintrag 1 und sonst Nullen) eine Basis bilden.
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 19:24: |
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Hi Rollmops
Hab b) hingekriegt:
Diagonalisierbarkeit hat zwei aequivalente Eigenschaften: Es gibt eine Basis, in der die Abbildungsmatrix diagonal ist, und die Eigenvektoren bilden eine Basis.
Also nehmen wir an, A und B seien diagonalisierbar. Dann gibt es v1,...,vn, die Eigenvektoren von A sind, und w1,...,wn, die Eigenvektoren von Bt sind.
Bt ist diagonailsierbar, weil B es ist, es wird im folgenden Beweis klar, warum wir diese betrachten.
Behauptung: Die Matrizen viwjt sind Eigenvektoren der oben definierten Abbildung und bilden eine Basis der n*n-Matrizen.
Beweis:
a) Eigenvektoren ( ki, lj sind die zugehoerigen Eigenwerte )
AXB=A(viwjt)B=(Avi)(wjtB)=(Avi)(Bwj)t=kiljviwjt
b) Lineare Unabhaengigkeit
Ich setze nicht die Standardgleichung mit Koeffizienten an, sondern direkt mit den Vektoren, da ein Vielfaches eines Eigenvektors auch ein Eigenvektor, reicht es zu zeigen, dass wenn eine Linearkombination von Eigenvektoren gleich 0 ist gdw. alle 0 sind.
Also gilt unter Anwendung der Distributivgesetze:
Sn i und j=1viwjt=(Sn i=1vi)(Sn j=1wjt)
Also ist die Linearkombination ein Produkt von zwei Vektoren der Form abt
Hier muessen wir ein kleines Lemma zeigen: Ein solches Produkt ist 0 gdw. einer der Vektoren 0 ist. Beweis: Angenommen a und b ungleich 0, dann gibt es i,j, sodass ai und bj ungleich 0. Der ij-te Eintrag der Matrix ist gerade aibj ungleich 0 entgegen der Annahme.
Daher muss in unserem letzten Produkt mindestens einer der Faktoren 0 sein, dass geht aber nicht, da die Eigenvektoren nach Voraussetzung lin. unabhaengig sind.
Da die Dimension n² ist, und wir n² solche linear unabhaengige Matrizen estellt haben, sind sie eine Basis der Rn,n, und daher ist die Abbildung diagonalisierbar.
Es hat Spass gemacht, die Aufgabe zu loesen, hoffe Du kannst es nachvollziehen.
viele Gruesse
SpockGeiger |
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