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Beitrag |
    
Miriam
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 23:04: | 
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gege sei:
1) 1-1/2+1/3-1/4..
2) 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11...
zu zeigen ist, das der Grenzwert der 2ten Reihe
3/2 der ersten ist.
Wäre cool wenn mir da jemand helfen könnte. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 18:08: |
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Hi Miriam,
Es ist echt cool, wenn ich Dir wieder einmal
helfen kann !
Nun zur Sache:
Die alternierende harmonische Reihe
1/1 -1/2 +1/3 -1/4 +1/5 +.......konvergiert nach dem
Satz von Leibniz über alternierende Reihen
Dass die Summe s1 dieser Reihe gerade ln (2) darstellt,
braucht uns bei der Lösung Deiner Aufgabe nicht zu
kümmern.
Bitte beachte die Sprechweise :
eine Reihe, die konvergiert, besitzt eine SUMME,
welche mit dem Grenzwert der Folge der Partialsummen
(Teilsummenfolge) übereinstimmt.
Die Summe s1 kann mittels einer Intervallschachtelung
veranschaulicht werden:
s1 liegt zwischen 1 und ½, ebenso zwischen ½ und 5/6.
Zwischen 5/6 und 7/12 u.s.w.
Bei einer andern Anordnung der Glieder, wie zum
Beispiel bei der Anordnung
1/1 +1/3 – ½ + 1/5 + 1/7 – ¼ +.......
bleibt die Konvergenz erhalten, die Reihe hat aber eine
andere Summe s2.
s2 liegt zwischen 4/3 und 5/6 u.s.w.
Somit: gilt s1 <5/6,> 5/6.
Die Relation zwischen s1 und s2 ist, wie angegeben .
s2 = 3/2 * s1, wie folgendermassen gezeigt werden kann:
Ohne die Summe s1 zu verändern, darf man
bei der ersten Reihe die Summanden in Vierergruppen
zusammenfassen:
s1 = [1/1 -1/2 +1/3 -1/4 ] +[1/5 –1/6 + 1/7 –1/8] +....
Man darf ferner ½*s1 so bilden:
½*s1 = [½ - ¼ ] + [1/6 – 1/8] +......
addiert man die beiden letzten Gleichungen, so kommt
das erwünschte Resultat:
3/2 * s1 = [1/1 +1/3 – ½ ] + [1/5 + 1/7 – ¼ ] +.......
was zu zeigen war (w.z.z.w).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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