    
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 15:29: | 
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Hi Peggy,
Dieser einen Dgl. kann ich nicht widerstehen !
Wir können sie dadurch wesentlich vereinfachen,
indem wir die folgende geniale Substitution durchführen:
y^2 = 1/z , also y = 1/wurzel(z) ; für die Ableitungen
y´, z´ nach x gilt:
2 y y ´ = - (1 / z^2 ) * z ´ , also
y ´ = - ½ * { 1 / ( z^2 y )} * z´ =
- ½ * {wurzel(z) / z^2} * z ´
Dies setzen wir in die gegebene Dgl . ein und multiplizieren
beide Seiten der Gleichung noch mit 2 * z ^ 2 * wurzel(z)
Ergebnis:
- z * z´ + 2*z^2 = 2 * z * f(x) mit f(x) = cos x – sin x.
z kann weggekürzt werden; es bleibt :
z ´- 2 * z + 2 * f(x) = 0
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Es liegt eine inhomogene lineare Dgl. erster Ordnung vor
Lösung der homogenen Gleichung
z ´ = 2 * z durch Separation der Variablen:
dz / z = 2 * dx
Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
z = C * e ^(2x) mit C als Integrationskonst.
Suche nach einer partikulären Lösung der inhomogenen
Gleichung durch den Ansatz
z = a cos x + b sin x ; daraus folgt
z ´ = - a sin x + b * cos x; setz man dies alles in die
inhomogene Gleichung ein, d.h. in die Gleichung
z´- 2 * z = - 2 * cos x + 2 * sin x und vergleicht
die Koeffizienten, so erhält man zwei lineare
Gleichungen für a und b , nämlich:
- a – 2 b = 2
b – 2 a = - 2
Lösungen: a = 2/5 , b = - 6/5
Somit ist z = 2/5 * cos x – 6/5 * sin x eine
partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung und
z = C * e^(2*x) + 2/5 * cos x – 6/5 * sin x
die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung in z.
Für die allgemeine Lösung der gegebenen Dgl. in y
erhalten wir somit:
y = 1 / wurzel (z) =
1 / wurzel [C * e^(2*x) + 2/5 * cos x – 6/5 * sin x ],
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C ist, wie gesagt, eine Integrationskonstante..
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
