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Chief
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 19:40: |
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gegeben sei FOlgende DGL: x*(y')^3-y*(y')^2+0,5x=0 Hab schon Proleme hier einen Anfang zu finden. Bin für jede Hilfe dankbar. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 17:41: |
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Hi Chief, Treffpunkt Differentialgleichungen ! Hier geht es um Gleichungen, die nach d’Alembert, Jean Baptiste le Rond (1717-1783) benannt werden. Es handelt sich um implizite Dgln. erster Ordnung der Form y(x) = x * f(p) + g(p), wobei p – wie üblich - die erste Ableitung von y(x) nach x darstellt: p = y ´(x). f und g sind zwei stetig differenzierbare Funktionen. Gilt speziell f(p) = p , so liegt eine Clairautsche Dgl. vor, die wir bereits kennen und beherrschen. Es ist wohl angebracht, den allgemeinen Fall einer d’Alembertschen Dgl. zu behandeln. Wir beachten, dass dy/dp = dy/dx * dx/dp gilt; mit x´ = dx /dp kommt: dy/dp = x´* dy/dx.= x´* p. Leitet man nun die gegebene Dgl. nach p (!) ab, so entsteht: x´ * p = x´ f(p) + x f ´(p) + g´(p) ; Auflösung nach x´ x´ = [x f ´(p) + g´(p)] / [p –f(p)] Aus dieser linearen Dgl. kann f(p) durch Integration ermittelt werden. Anschliessend ergibt sich y(p) = x * f(p) + g(p). Bei dem von Dir angegebenen Beispiel gilt : f(p) = 1/3 * p + 1 / (6* p^2) g(p) ist identisch null. Die Dgl für x = x(p) lautet dx / x = (12 p ^ 3 – 2 ) / ( 4 p ^ 4 - p ) Integral links: ln x Integral rechts: 2 * ln p +1/3 * ln (4 p^3 – 1 ) + ln c u.s.w. MfG H.R.Moser,megamath.
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Chief
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. April, 2002 - 13:27: |
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Danke megamath. Hat zwar ein weilchen gedauert bis ichs durchgearbeitet hatte, aber ich denk jetzt hab ichs verstanden. |
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