Autor |
Beitrag |
Florin
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 13:53: |
|
Hallo, Wer kann mir behilflich sein, die Dgl. erster Ordnung y^2- 2 x y p + (1+x^2) p^2 - 1 = 0 zu lösen ? p ist die Ableitung von y nach x. Ich wäre für jede Hilfe dankbar ! mfG Florin
|
Chief
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 14:20: |
|
Hi das sieht mir Stark nach einem Clairautsche DGL aus. Nach ein paar Umformungen kommst du auf: y=y'x-/+sqr(1-y'2) ich nenn p mal y' Bei Clairautsche gibts als Lösung 1. eine Geradenschar 2. Die EInhüllende der Geradenschar also die Geradenschar ist dann: y=cx+/-sqr(1-c^2) so hat Clairautsche das aufgestellt schau mal in deinem Buch nach Die einhüllende ist dann: x=+/- t/sqr(1-t^2) y=+/- t^2/sqr(1-t^2) +/- sqr(1-t^2) so ich hoff ich hab mich nicht komplett verzettelt. Gruß Chief |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 16:25: |
|
Hi Florin, Bei der vorliegenden Dgl. handelt es sich um eine Clairautsche Differentialgleichung (nach Alexis Claude Clairaut,1713- 1765) Auflösung der gegebenen Gleichung y ^ 2 - 2 x y p + (1 + x^2 ) p^2 - 1 = 0 ……..( 0 ) Die Abkürzung p für dy / dx wird weiterhin benützt. Wir zerlegen die gegebene Dgl.in zwei Gleichungen mit Hilfe der Auflösungsformel für quadratische Gleichungen: y = x p + wurzel(1- p^2)…………………….( I ) y = x p - wurzel(1- p^2)…………………….( II ) Es genügt, Gleichung (I) zu behandeln; der Fall (II) geht parallel und führt zum selben Schlussresultat. Wir leiten (I) nach x ab; es entsteht: p = p + x p ´- p /wurzel(1-p^2) * p´ Die Summanden p links und rechts heben sich weg , und es bleibt die Produktdarstellung [ x-p* / wurzel(1-p^2) ]* p´= 0............................(P) in einem ersten Fall [A] setzen wir den zweiten Faktor null, in einem zweiten Fall [S ] setzen wir den ersten Faktor null. [A] Wir erhalten die so genannte allgemeine Lösung der Clairautschen Dgl. aus der Beziehung p´ = 0: es folgt daraus: p = dy/dx = c (constans) ; setzen wir dies in die Gleichung (0) betzw (I) ein, so kommt: y^2- 2 c x y + c^2 (1+x^2) - 1 = 0 oder y = c x + wurzel(1- c^2)…………………….( G ) Diese Gleichung stellt eine Geradenschar dar mit c als Scharparameter [S] Wir erhalten die so genannte singuläre Lösung der Clairautschen Dgl. aus der Beziehung x - p* / wurzel(1-p^2) = 0 ; es folgt daraus wurzel (1-p^2 ) = p / x Mit Gleichung (I) ergibt sich damit zunächst y = x p + p/ x = p /x (1 + x^2), also p = (x y ) / (1+ x^2); setzt man dies in (0) ein, so erhalten wir schliesslich die singuläre Lösung y^2 – (x^2 * y^2) / (1+x^2) = 1, vereinfacht : kurz und bündig: y^2 – x^2 = 1 °°°°°°°°°°°°°° Man kann nachweisen, dass diese Hyperbel gerade die Enveloppe (Umhüllende) der Geradenschar aus Abschnitt [ A ] ist Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 18:15: |
|
Hi chief, Nachdem Du die von Florin vorgelegte Clairautsche Dgl. eher rezeptmässig gelöst hattest, wollte ich aus didaktischen Gründen es nicht versäumen, Florin einen ausführlichen Lösungsweg zu zeigen, der doch einen Blick hinter die Kulissen der Lösungsmethoden für anspruchsvollere Differenzialgleichungen gestattet. Im Beipackzettel des Rezepts zur Lösung der Clairautschen Dgl. y(x) = x y´ + g(y’) wird zunächst verlangt, dass die Funktion g(t) in einem Intervall I =[a,b] auf der t-Achse stetig sei. Für die Existenz einer singulären Lösung, welche als Enveloppe der allgemeinen Lösung erscheint, wird etwas mehr verlangt, nämlich dies: g(t) muss auf I stetig differenzierbar sein und eine streng monotone erste Ableitung besitzen Im vorliegenden Fall gilt: g(t) =wurzel (1 – t ^ 2) ; die genannten Bedingungen sind offensichtlich erfüllt. Man wird versuchen, den Parameter t zu eliminieren. Dies gelingt bei der Aufgabe von Florin durch die Berechnung der Differenz y ^ 2 – x ^ 2 Als Resultat erscheint die in meinem Beitrag erwähnte gleichseitige Hyperbel y^2 - x^2 = 1 °°°°°°°°°°°°° Dies zur Ergänzung ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Chief
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 18:28: |
|
Ja manchmal bleibt mir nur eine Rezeptmäßige Lösung, da mir so mancher Zusammenhang bei DGLen verborgen blieb.Es is für mich persönlich eines der undurchsichtigsten Gebiete der Mathematik. Umsomehr weiß ich deine Aufschlüsselungen zu schätzen. Gruß Chief |
Florin
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 17:29: |
|
Hallo Chief, Hallo H.R.Moser,megamath ! Vielen Dank für die tollen Lösungen meiner Dgl. mfG Florin
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 18:04: |
|
Hi Chief, Ich glaube, dass ein paar aufmunternde Worte nichts schaden können. Mit den Differentialgleichungen (neuerdings auch Differenzialgleichungen geschrieben) lässt sich leben und zwar sehr gut ; gemeint sind zunächst die gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Partielle Differenzialgleichungen sind wiederum ein Thema für sich. Bei vielen Teilgebieten dieser Sparte gibt es tatsächlich festgeschriebene Auflösungsmethoden, also Rezepte; andere lassen sich nur mit Phantasie oder Intuition und oft nur mit einer gehörigen Dosis Glück bewältigen. Deshalb, so meine ich, ist dieses Gebiet echt (!) faszinierend. Meine Empfehlung geht dahin, jeden Tag eine Dgl. von wechselndem Typus zu lösen, möglichst mit nüchternem Magen. Sehr gute Beispiele mit variablem Schwierigkeitsgrad findest Du, wenn das Archiv dereinst wieder funktionieren wird, in diesem Board. Die Lösungen stammen von versierten Mitarbeitern (Fern,Hans,Orion …) von „zahlreich“. Viel Mut und Erfolg wünscht als Fan von Differentialgleichungen aller Arten : H.R.Moser,megamaht.
|
Chief
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 19:54: |
|
hallo megamath, danke für den Tipp erstmal, wollt mich in den Ferien sowieso noch etwas mit der Mathematik beschäftigen also werd ich mal paar DGLen Rechnen. Obwohl wir letztes Semester schon mehr als genug DGLen durcgnemommen haben, sollte mir langsam zum Halse raushängen Womit ich mich grad beschäftige sind Schwingungs DGLen, die brauch ich nächstes Semester in anderen Gebiten(mechanik, elektrotechnik..). Vielleicht weißt du ja ein paar gute Links oder Bücher für mich. Gruß Chief
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 18:21: |
|
Hi Chief, En passant zwei Buchempfehlungen zum Thema Differentialgleichungen: 1. Walter, W. Gewöhnliche Differentialgleichungen Springer Verlag, Berlin 1996. 2. W.E.Boyce / R.C.DiPrima Gewöhnliche Differentialgleichungen (deutsch) Spektrum Verlag, Heidelberg 1995 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
|