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Differentialgleichung erster Ordnung

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Florin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 13:53:   Beitrag drucken

Hallo,

Wer kann mir behilflich sein, die Dgl. erster Ordnung
y^2- 2 x y p + (1+x^2) p^2 - 1 = 0 zu lösen ?
p ist die Ableitung von y nach x.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar !

mfG
Florin

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Chief
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 14:20:   Beitrag drucken

Hi

das sieht mir Stark nach einem Clairautsche DGL aus.
Nach ein paar Umformungen kommst du auf:
y=y'x-/+sqr(1-y'2) ich nenn p mal y'
Bei Clairautsche gibts als Lösung 1. eine Geradenschar 2. Die EInhüllende der Geradenschar

also die Geradenschar ist dann:
y=cx+/-sqr(1-c^2) so hat Clairautsche das aufgestellt schau mal in deinem Buch nach

Die einhüllende ist dann:
x=+/- t/sqr(1-t^2)
y=+/- t^2/sqr(1-t^2) +/- sqr(1-t^2)

so ich hoff ich hab mich nicht komplett verzettelt.

Gruß

Chief
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 16:25:   Beitrag drucken

Hi Florin,

Bei der vorliegenden Dgl. handelt es sich um eine
Clairautsche Differentialgleichung
(nach Alexis Claude Clairaut,1713- 1765)

Auflösung der gegebenen Gleichung
y ^ 2 - 2 x y p + (1 + x^2 ) p^2 - 1 = 0 ……..( 0 )
Die Abkürzung p für dy / dx wird weiterhin benützt.
Wir zerlegen die gegebene Dgl.in zwei Gleichungen
mit Hilfe der Auflösungsformel für quadratische
Gleichungen:
y = x p + wurzel(1- p^2)…………………….( I )
y = x p - wurzel(1- p^2)…………………….( II )

Es genügt, Gleichung (I) zu behandeln; der Fall (II)
geht parallel und führt zum selben Schlussresultat.

Wir leiten (I) nach x ab; es entsteht:
p = p + x p ´- p /wurzel(1-p^2) * p´
Die Summanden p links und rechts heben sich weg ,
und es bleibt die Produktdarstellung
[ x-p* / wurzel(1-p^2) ]* p´= 0............................(P)
in einem ersten Fall [A] setzen wir den zweiten Faktor null,
in einem zweiten Fall [S ] setzen wir den ersten Faktor null.

[A]
Wir erhalten die so genannte allgemeine Lösung der
Clairautschen Dgl. aus der Beziehung
p´ = 0: es folgt daraus:
p = dy/dx = c (constans) ; setzen wir dies in die
Gleichung (0) betzw (I) ein, so kommt:
y^2- 2 c x y + c^2 (1+x^2) - 1 = 0 oder
y = c x + wurzel(1- c^2)…………………….( G )
Diese Gleichung stellt eine Geradenschar dar mit c
als Scharparameter

[S]
Wir erhalten die so genannte singuläre Lösung der
Clairautschen Dgl. aus der Beziehung
x - p* / wurzel(1-p^2) = 0 ; es folgt daraus
wurzel (1-p^2 ) = p / x
Mit Gleichung (I) ergibt sich damit zunächst
y = x p + p/ x = p /x (1 + x^2), also
p = (x y ) / (1+ x^2); setzt man dies in (0) ein,
so erhalten wir schliesslich die singuläre Lösung
y^2 – (x^2 * y^2) / (1+x^2) = 1, vereinfacht :
kurz und bündig:
y^2 – x^2 = 1
°°°°°°°°°°°°°°

Man kann nachweisen, dass diese Hyperbel gerade
die Enveloppe (Umhüllende) der Geradenschar aus
Abschnitt [ A ] ist

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 18:15:   Beitrag drucken

Hi chief,

Nachdem Du die von Florin vorgelegte Clairautsche
Dgl. eher rezeptmässig gelöst hattest, wollte ich aus
didaktischen Gründen es nicht versäumen, Florin einen
ausführlichen Lösungsweg zu zeigen, der doch einen
Blick hinter die Kulissen der Lösungsmethoden
für anspruchsvollere Differenzialgleichungen gestattet.

Im Beipackzettel des Rezepts zur Lösung der
Clairautschen Dgl.
y(x) = x y´ + g(y’)
wird zunächst verlangt, dass die Funktion
g(t) in einem Intervall I =[a,b] auf der t-Achse stetig sei.
Für die Existenz einer singulären Lösung,
welche als Enveloppe der allgemeinen Lösung
erscheint, wird etwas mehr verlangt, nämlich dies:
g(t) muss auf I stetig differenzierbar sein und
eine streng monotone erste Ableitung besitzen

Im vorliegenden Fall gilt:
g(t) =wurzel (1 – t ^ 2) ;
die genannten Bedingungen sind offensichtlich erfüllt.

Man wird versuchen, den Parameter t zu eliminieren.
Dies gelingt bei der Aufgabe von Florin durch die
Berechnung der Differenz y ^ 2 – x ^ 2
Als Resultat erscheint die in meinem Beitrag erwähnte
gleichseitige Hyperbel
y^2 - x^2 = 1
°°°°°°°°°°°°°

Dies zur Ergänzung !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath






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Chief
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 18:28:   Beitrag drucken

Ja manchmal bleibt mir nur eine Rezeptmäßige Lösung, da mir so mancher Zusammenhang bei DGLen verborgen blieb.Es is für mich persönlich eines der undurchsichtigsten Gebiete der Mathematik.
Umsomehr weiß ich deine Aufschlüsselungen zu schätzen.

Gruß

Chief
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Florin
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 17:29:   Beitrag drucken

Hallo Chief, Hallo H.R.Moser,megamath !

Vielen Dank für die tollen Lösungen meiner Dgl.

mfG
Florin
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 18:04:   Beitrag drucken

Hi Chief,

Ich glaube, dass ein paar aufmunternde Worte nichts
schaden können.
Mit den Differentialgleichungen
(neuerdings auch Differenzialgleichungen geschrieben)
lässt sich leben und zwar sehr gut ; gemeint sind zunächst die
gewöhnlichen Differenzialgleichungen.
Partielle Differenzialgleichungen sind wiederum ein Thema
für sich.
Bei vielen Teilgebieten dieser Sparte gibt es tatsächlich
festgeschriebene Auflösungsmethoden, also Rezepte;
andere lassen sich nur mit Phantasie oder Intuition
und oft nur mit einer gehörigen Dosis Glück bewältigen.
Deshalb, so meine ich, ist dieses Gebiet echt (!) faszinierend.
Meine Empfehlung geht dahin, jeden Tag eine Dgl.
von wechselndem Typus zu lösen, möglichst mit
nüchternem Magen.
Sehr gute Beispiele mit variablem Schwierigkeitsgrad
findest Du, wenn das Archiv dereinst wieder funktionieren
wird, in diesem Board.
Die Lösungen stammen von versierten Mitarbeitern
(Fern,Hans,Orion …) von „zahlreich“.

Viel Mut und Erfolg wünscht als Fan
von Differentialgleichungen aller Arten :

H.R.Moser,megamaht.
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Chief
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 19:54:   Beitrag drucken

hallo megamath,

danke für den Tipp erstmal, wollt mich in den Ferien sowieso noch etwas mit der Mathematik beschäftigen also werd ich mal paar DGLen Rechnen.
Obwohl wir letztes Semester schon mehr als genug DGLen durcgnemommen haben, sollte mir langsam zum Halse raushängen :-)
Womit ich mich grad beschäftige sind Schwingungs DGLen, die brauch ich nächstes Semester in anderen Gebiten(mechanik, elektrotechnik..).
Vielleicht weißt du ja ein paar gute Links oder Bücher für mich.


Gruß

Chief
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 18:21:   Beitrag drucken

Hi Chief,

En passant zwei Buchempfehlungen zum Thema
Differentialgleichungen:

1.
Walter, W. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Springer Verlag, Berlin 1996.

2.
W.E.Boyce / R.C.DiPrima
Gewöhnliche Differentialgleichungen (deutsch)
Spektrum Verlag, Heidelberg 1995

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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