| Autor |
Beitrag |
    
Karl H.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 12:44: | 
|
Hallo,
Kann mir jemand dabei helfen, die folgende
Aufgabe zu lösen ?
Man bestimme die orthogonalen Trajektorien
der Kurvenschar
x^2 / 4 + y^2 / p^2 – 1= 0 , p ist Parameter.
Vielen Dank im Voraus !
Karl H.
|
Chief
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 12:53: |
|
1. Differenzieren=>> DGL
2. y'=-dx/dy
3. Lösen der neuen DGL |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 13:07: |
|
Hi Chief,
Bei Deiner Kurzlösung ist ein wesentlicher Punkt
der den meisten Studierenden nach meinen
Erfahrungen am meisten Schwierigkeiten bereitet,
nicht berücksichtigt !
Die Tatsache nämlich, dass der Parameter p aus
der Gleichung der Schar und aus der durch
Differentiation erhaltenen Gleichung zu eliminieren ist.
Das ist eindeutig Chefsache und ergibt eine neue Alinea
im Rezept !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 14:17: |
|
Hi Karl,
Zuerst ermitteln wir die Differentialgleichung
der Kurvenschar, indem wir die gegebene
Gleichung
x^2 / 4 + y^2 / p^2 – 1 = 0 …………….(1)
nach x ableiten und aus der so
entstehenden Gleichung und der Gleichung
der Schar den Parameter p eliminieren.
Das geht so:
(1) nach x differenziert :
½ * x + 2 * y * y´/ p ^ 2 = 0 oder
y´ = - ¼ * (x * p ^ 2 ) / y………………(2)
Aus (1) :
p^2 = 4 * y ^ 2 / ( 4 –x ^ 2)
Dies setzen wir in (2) ein ; es kommt :
y ´ = - x * y / ( 4 – x ^ 2 )………………(3)
Dies ist die gewünschte Dgl. der Schar.
Ersetzen wir in (3) y´ durch – 1 / y ´ ,
so entsteht daraus die Dgl. der orthogonalen
Trajektorien, nämlich:
y ´ = (4 - x ^2) / ( x * y )
Die Variablen können getrennt werden:
y * dy = [4 / x - x ] * dx
Die Integration liefert die Schar der gesuchten
orthogonalen Trajektorien:
½ *( y^2 + x^2) = 4 * ln x + ½ * C der
x^2 + y ^2 = ln x^8 + C
Die Integrationskonstante C übernimmt die Rolle
des Scharparameters.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
Karl H.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 10:38: |
|
Hallo Chief und Megamath,
Vielen Dank für Eure Bemühungen !
MfG
Karl
|
|
