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Beitrag |
    
Yvonne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 14:10: | 
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Kann einer die Differentialgleichung lösen???
x³+y³+x²y-xy²y'=0 (x<>0,y<>0) |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 19:20: |
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Hi Yvonne,
Löse die Gleichung nach y ´ auf :
y ´ = (x^3 + y^3 + x^2 * y ) / (x * y^2 ) ;
kürze mit x^3 und setze y / x = t ein ; es kommt:
y ´ = ( 1 + t^3 + t) / t ^2
Wir fassen t als neue unbekannte Funktion auf,
wobei aus y = t * x durch Ableiten nach x die Beziehung
y ´= t + t´ * x entsteht.
Dies in die Dgl. eingesetzt ergibt:
t ^ 3+ t ^ 2 * t ´ * x = 1 + t ^ 3 + t , vereinfacht:
t ^ 2 * t ´ * x = 1 + t ; die Variablen lassen sich trennen:
t^2/(1+t) * dt = dx ; die linke Seite wird in Partialbrüche zerlegt:
[t – 1 + 1 / ( 1 + t ) [] *dt = dx ; die Integration liefert:
½ * t^2 – t + ln(1 + t ) = x + c ; ersetze darin noch
t durch y / x.
c ist als eine Integrationskonstante zu behandeln
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 19:44: |
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Hi Yvonne,
Mein Kontrollsystem meldet mir soeben,
dass in meiner Lösung Deiner Dgl. ein Fehler
entstanden sei.
Dies ist tatsächlich der Fall; am Schluss muss es richtig
heissen:
t^2 / (1+ t ) * dt = 1 / x * dx
°°°°°°°°°
die linke Seite wird in Partialbrüche zerlegt, also
[ t –1 +1 / (1 + t) ] = 1 / x * dx ,
die Integration liefert:
½ * t ^ 2 – t + ln (1 + t ) = ln x + c
u.s.w.
MfG
H.R.M.
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Yvonne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 09:58: |
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Geil,Danke |
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