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Beitrag |
    
Leo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 14:04: | 
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Hallo,
ich hoffe hier geholfen zu werden;-)
Gegeben sei eine symmetrische Matrix A.
Es sollten Eigenwerte - und Vektoren bestimmt werden. Soweit OK
Ein weiterer Punkt der Aufgabe ist:
Wie sieht A^100 aus ? Wie ist das zu verstehen?
Alle Elemente hoch 100? Was soll das bezwecken?
Gruß Leo |
Martin (martin243)
Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:13: |
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Vielleicht geht es hier um die Frage, ob A100 auch eine symmetrische Matrix ist? Außerdem sind das nicht alle Elemente hoch 100, denn die Matrizenmultiplikation ist ja etwas komplizierter, wie du bestimmt weißt. |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 20:27: |
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Hallo Leo,
du musst die Matrix diagonalisieren!
Das heißt man muss die gegebene n x n Matrix A auf folgende Form bringen:
A = PDP-1
Die mittlere matrix D hat dabei in der Hauptdiagonale die Eigenwerte von A stehen und alle anderen Elemente = 0.
Eine n x n Matrix ist dann und nur dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.
Die Matrix P hat als Spalten n Eigenvektoren von A.
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Potenzen von A berechnet man dann nach.
Ak = PDkP-1
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dabei ist zu beachten, dass Dk sehr leicht zu ermitteln ist:
Dk hat einfach alle Elemente von D zur k-ten Potenz.
Also, wenn D in der Diagonalen die Werte
l1, l2, l3, ..... hat
so hat Dk in der Diagonalen
l1k, l2k, l3k, ........
Gruß, Fern
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 06:49: |
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Hallo Leo,
kleine Fortsetzung:
Falls die Matrix A (wie in deiner Aufgabe) symmetrisch ist, so sind die n Eigenvektoren (die zu verschiedenen Eigenwerten gehören) immer gegenseitig orthogonal. Die Matrix A ist also immer diagonalisierbar, man sagt:orthogonal diagonalisierbar
Es gilt ferner A = AT
und, was die Rechnung erleichtert:
P-1 = PT
Gruß, Fern
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