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Beitrag |
    
Rene
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 17:06: | 
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Tach Allerseits,
ich bräuchte Hilfe bei der Berechnung eines uneigentlichen Integrals:
Integral von 0 bis 2 ; 1 durch Wurzel aus Betrag
von (1 - x²)
Danke... Rene |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 18:46: |
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Hallo Rene,
solche uneigentlichen Integrale können wie "normale" Integrale behandelt werden, nur darf man dabei nicht über die Unstetigkeitsstelle hinwegintegrieren.
In unserem Fall liegt diese bei x = 1
Wir teilen also das Integral in zwei Teile:
ò0 2 1/Ö|1-x²| dx = ò0 1 1/Ö|1-x²| dx + ò1 2 1/Ö|1-x²| dx
Aus einer Integraltafel (oder per Computer) finden wir leicht:
(du kannst es aber auch händisch rechnen)
ò 1/Ö(1-x²)dx = arcsin(x)
in den Grenzen von 0 bis 1 ergibt dies: p/2
weiters beachten wir:
|1-x²| = x² - 1 für den Bereich x >= 1
und wir finden wieder eine Stammfunktion:
ò 1/Ö(x² - 1) dx = ln|x + Ö(x² - 1)|
und dies ergibt in den Grenzen 1 bis 2:
ln|2 + Ö(3)|
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insgesamt also:
ò0 2 1/Ö|1-x²| dx = ln(2 + Ö(3)) + p/2
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