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Eik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 14:26: | 
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Hallo, Mathematikinteressierte.
Ich habe vor kurzem angefangen mich mit der Zahlentheorie auseinanderzusetzen.
Dabei stieß ich auf eine aufgabe die ich bis jetzt nicht richtig lösen konnte:
Beweise das wenn
n|((n-1)!+1)
(sprich wenn n ein echter teiler von (n-1)!+1 ist)
(mit n Element der Natürlichen Zahlen grösser 1)
ist das dann n eine Primzahl sein muss.
Die Aufgabe ist sicherlich trivial zu lösen. Aber wie schon gesagt kom ich nicht drauf.
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen. |
Matthias M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 15:15: |
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Hallo Eik,
die obengenannte Tatsache kennt man unter dem Begriff "Satz von WILSON". Der Beweis ist nicht trivial, aber auch nicht allzu schwer, wenn man das Rechnen mit Kongruenzen in Ringen beherrscht.
Man findet den Beweis z.B.in B.Hornfeck: "Algebra" auf Seite 83.
MfG Matthias M. |
Eik
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 15:47: |
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Erstmal danke für die schnelle Antwort !
Leider besitze ich das von dir angegeben buch nicht. Bei der Suche im Internet fand nach dem "satz von Wilson" fand ich leider auch keinen Beweishinweis.
ICh wäre deswegen schon dankbar wenn du mir nur eine beweisskize geben könntest, damit ich zumindestens weiss wie ich rangehen muss.
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Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 17:21: |
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Beweis durch Kontraposition.
Sei n keine Primzahl, etwa n = ab mit a,b > 1.
Der Fall n=4 ist klar (4 ist kein Teiler von 3! - 1 = 5). Sei von nun an n > 4.
Falls a ungleich b, dann tauchen a und b unter den Zahlen 1,2,...,n-1 auf und es ist daher (n-1)! = abc = nc für ein c.
Ist a=b, dann ist 2a <n> 4), also tauchen a und 2a unter den Zahlen 1,2,...,n-1 auf, also auch hier (n-1)! = nc für ein c.
Daher kann n kein Teiler von (n-1)! + 1 = nc + 1 sein.
Der Satz von Wilson geht glaube ich anders.
Gruß
Z. |
Matthias M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 12:06: |
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Hallo Zaph,
der Satz von Wilson (oder auch Wilsonsche Kongruenz) ist eine etwas stärkere Aussage als die von Eik oben formulierte, nämlich
n ist dann und nur dann eine Primzahl, wenn gilt.....Man muss dann also auch die Umkehrung beweisen und das ist etwas komplizierter.
Dein Beweis für Eiks Aussage ist o.k.
MfG Matthias M. |
Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 15:06: |
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Zunächst einmal sollte es heißen
Ist a=b, dann ist 2a < n (weil 4 < n), ...
(Das Board spielt verrückt, wenn ein Größer-Zeichen eingegeben wird)
War mir doch auch so, dass der Satz von Wilson etwas komplizierter ist. Nun also denn die andere Richtung. Sei n eine Primzahl.
Hierzu muss man wissen, dass es zu jedem a mit 0 < a < n genau ein b(a) mit 0 < b(a) < n gibt, sodass a * b(a) - 1 ein Vielfaches von n ist.
Die Zahlen 1,2,3,...,n-1 können also zu Paaren
a1, b(a1), a2, b(a2), ... , ak, b(ak)
umsortiert werden (k := (n-1)/2), sodass ai * b(ai) - 1 immer ein Vielfaches von n ist, etwa
ai * b(ai) - 1 = n * ci.
Es ist also
1 * 2 ... * (n-1)
= a1 * b(a1) * a2 * b(a2 * ... * ak * b(ak)
= (n * c1 + 1) * (n * c2 + 1) * ... * (n * ck + 1)
= n * (irgendwas) + 1
Also ist (n-1)! - 1 durch n teilbar. |
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