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Beitrag |
    
Kaser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 11:40: | 
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Hi zusammen,
wer kann mir bei folgendem helfen:
die alternierende harmonische Reihe konvergiert gegen ln 2.
Das ist soweit klar. Steht ja in jedem Buch.
Aber warum ist das so?
Wie beweist man das?
Danke für Eure Hilfe.
Gruß Kaser |
orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 14:15: |
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Hallo :
Das sog. Leibniz-Kriterium besagt:
Eine alternierende Reihe, bei welcher die
Beträge der Summanden monoton abnehmend gegen 0 streben ist konvergent.
Beweis :
Sei
s(n) := sum[k=1..n](-1)^(k-1)*a(k) ; n in |N
die n-te Teilsumme. Dann gilt
s(2n+2) = s(2n) + (a(2n+1)-a(2n+2)) > s(2n)
d.h. die Folge (s(2n)) ist streng wachsend.
Wegen
s(2n) =
a(1) - sum[k=2..2n-2](a(k)-a(k+1))-a(2n) < a(1)
ist ((s2n)) nach oben beschränkt. Ebenso
zeigst du: die Folge ((s(2n+1)) ist streng
monoton fallend und nach unten beschränkt.
Schliesslich ist
lim(s(2n+1)-s(2n)) = lim a(2n+1) = 0.
Daher ist <s(2n),s(s(2n+1)> eine Intervallschachtelung. Die Vollständigkeit von
|R garantiert die Existenz einer eindeutig
bestimmten Zahl s (= lim s(n)) sodass
s(2n) < s < s(2n+1) für alle n in |N.
Im vorliegenden Fall ist a(n) = 1/n.
mfg
Orion
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SpockGeiger (spockgeiger)
Junior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 454
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. März, 2002 - 19:09: |
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Hallo Kaser
Die Reihe S¥ n=0xn konvergiert in ]1-,1[ gegen 1/(1-x), daher konvergiert S¥ n=0(-x)n=S¥ n=0(-1)nxn in ]-1,1[ gegen 1/(1+x). Daher darf man das gliedweise integrieren, und erhält ln(x+1)=S¥ n=1(-1)n/(n+1)*xn+1=S¥ n=0(-1)n+1/n*xn. Nun gibt es einen Satz, der besagt, dass eine Potenzreihe, die in ]-c,c[ konvergiert und auch in c, im gesamten Intervall ]-c,c] gleichmäßig konvergiert (Hatten wir mal als Übungsaufgabe, war aber ziemlich konfus, Rumrechnerei ohne Ende). In unserem Fall ist c=1, und für x=c=1 konvergiert die Reihe, wie orion vorgemacht hat. Ihre Grenzfunktion ist stetig, hat also in x=1 denselben Grenzwert, wie ln(x+1), der ln(2) ist.
viele Grüße
SpockGeiger |
Kaser
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 15:19: |
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Danke euch.
Aber die alternierende harmonische Reihe
oo
Summe [(-1)^n * 1/n] = -ln 2 oder ln 2?
n=1
Also. Ich komme auf -ln 2....haut das hin??
Gruß Kaser |
SpockGeiger (spockgeiger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 456
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 15:40: |
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Hallo Kaser
-ln2 ist richtig. Als alternierende harmonische Reihe bezeichnet man aber meistens S (-1)n+1/n, weil das ausgeschrieben 1-1/2+1/3-... ist und das erste Glied positiv ist. Der Wert davon ist dann ln2.
viele Grüße
SpockGeiger |
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