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Umkehrfunktion

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Umkehrfunktion « Zurück Vor »

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chnueschu
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 15:45:   Beitrag drucken

Hallo Mathematiker!

Ich suche die Umkehrfunktion f-1(x) von
f:R->R, f(x)=tan(x)-ax mit a=2Pi/360

Ich weiss, dass sich nicht eine "normale" Gleichung finden laesst. Mich wuerde interessieren, ob es ueberhaupt eine Umkehrfunktion gibt (ich glaube schon!) und wie man ihr auf die Spur kommt...

Herzlichen Dank fuer die Hilfe.
chnueschu.
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chnueschu
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 10:53:   Beitrag drucken

hat niemand eine ahnung...?
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 17:17:   Beitrag drucken

Hallo chnuschu, die Funktion, wie du sie aufgeschrieben hast, ist nicht definiert, da für x nicht alle Werte aus R eingesetzt werden dürfen.

Der Definitionsbereich muss also erst einmal entsprechend eingegrenzt werden.

Aber auch dann existiert keine Umkehrfunktion, da die Funktion nicht injektiv ist.

Natürlich kannst du den Funktionsbereich weiter einschränken, sodass sie injektiv (und surjektiv!) und damit umkehrbar wird.

Das mit dem "auf die Spur kommen" ist eine andere Sache, denn du hast schon richtig erkannt, dass es keine "normale" Funktionsgleichung geben kann. Man muss sich mit Näherungsverfahren behelfen.
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chnueschu
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 13:37:   Beitrag drucken

Hallo Zaph.
Herzlichen Dank fuer deine Hilfe - habe schon geglaubt, dass ich eine Antwort vergessen muss...

Ist es richtig, dass die Funktion
g: ]-90,90[ -> R, g(x)=tan(x)-x*Pi/180
eine Umkehrfunktion besitzt oder habe ich wieder eine Fehlueberlegung gemacht?

Jetzt wuerde mich interessieren, welches Naeherungsverfahren ich brauche - und wie man das anwendet.

Kannst du oder jemand anders weiterhelfen?

gruss chnueschu.
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Zaph (zaph)
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Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 14:48:   Beitrag drucken

Hallo chnueschu (sorry, dass ich letztes Mal ein e unterschlagen habe),

hin und wieder kann es passieren, dass gerade niemand da ist, der Lust/Ahnung hat, eine Frage zu beantworten. Deshalb war es gut, dass du noch mal nachgehakt hast.

Es wundert mich ein wenig, dass ihr die Tangens-Funktion im Grad- und nicht im Bogenmaß definiert habt. Das verkompliziert die Sache ein wenig.

g(x) ist in der Tat im Intervall ]-90,90[ definiert.

Die erste Ableitung (nehme mal an, bei "Uniniveau" weißt du, was das ist) lautet

g'(x) = Pi/(180 * cos²(x)) - Pi/180

Da cos(x) <= 1 für ale x ist, ist
Pi/(180 * cos²(x)) >= Pi/180 für alle x,
also
g'(x) >= 0.

Somit ist g(x) im Intervall monoton wachsend. g(x) ist sogar streng monoton wachsend, denn sonst müsste die Ableitung auf einem ganzen Intervall Null sein. Also ist g(x) injektiv.

Da g(x) -> oo für x -> 90 und g(x) -> -oo für x -> -90 ist g(x) surjektiv.

Somit ist g(x) bijektiv und daher umkehrbar.

Ein Näherungsverfahren für die Berechnung der Umkehrfunktion ist z. B. die Intervallschachtelung.
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chnueschu
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 13:07:   Beitrag drucken

Hey Zaph - danke!

Wenn du ein bisschen Zeit und Lust hast, waere ich dir dankbar, wenn du mir die Intervallschachtelung an meinem Beispiel demonstrieren koenntest...

Lieber Gruss.
chnueschu.
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Zaph (zaph)
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Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 20:49:   Beitrag drucken

Das ist eigentlich ganz einfach. Es sei h die Umkehrfunktion. Nimm an, du willst h(0,8) berechnen. Das heißt, du musst ein x finden mit g(x) = 0,8.

x liegt irgendwo zwishcen -90 und 90.

Probieren wir mal x = 0.

Es ist g(0) = 0 < 0,8. Da g monoton wachsend, muss das wirkliche x somit größer als 0 sein.

Probiere x = 45.

Es ist g(45) = 0,214 < 0,8.

Also x > 45.

Probiere x = (45 + 90)/2 = 62,5.

Es ist g(62,5) = 0,83 > 0,8.

x muss also zwischen 45 und 62,5 liegen.

Probiere x = (45 + 62,5)/2 = 53,75.

u. s. w.

So wird das Intervall, wo x drin sein kann, immer weiter eingeschachtelt.

Gruß

Z.
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chnueschu
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 09:25:   Beitrag drucken

Ja okay - so geht das prima. Aber weisst du, ich habe gemeint, dass man die Funktion h irgendwie als Potenzreihe oder so darstellen könnte...

Kann es sein, dass man das Einschachteln in einen einzigen Ausdruck packen kann?
Ich habe es versucht - habe aber Schwierigkeiten mit dem Test auf grösser oder kleiner.

Ein Programm zu schreiben, das den Wert h(y) berechnet, wäre ja mithilfe der Intervallschachtelung nicht ein Problem (bis zu einer gewissen Genauigkeit). Ich sollte aber eine Summe oder so haben.
Selbstverständlich reicht eine Annäherung; nehme an, dass es ja nicht anders geht.

Kannst du mir weiterhelfen?

Herzlichen Dank für deine Mühe.
chnüschu.
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Zaph (zaph)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 16:36:   Beitrag drucken

Megamath ...?

Was meinst du damit, die Einschachtelung in einen Ausdruck zu packen?

Als Potenzreihe kann man die Umkehrfunktion darstellen. Weiß jetzt aber nicht, ob es einen "geschlossenen Ausdruck" dafür gibt und wo die Reihe konvergiert.

Vielleicht kuckt ja MEGAMATH mal her - der ist Experte in solchen Dingen. (Deshalb der merkwürdige Beginn, damit sein Name in der Überschrift erscheint ;-)

Zum BERECHEN eignet sich eine Potenzreihe meistens nicht so gut. Bestenfalls nahe am Entwicklungspunkt liefert sie gute Näherungen.

Sehr schnell konvergiert meistens das Newton-Verfahren. Aber auch dieses arbeitet wie die Intervallschachtelung iterativ. (D. h. man tastet sich von Näherungslösung zu Näherungslösung.)
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 20:07:   Beitrag drucken

Hi Zaph, Hi chnueschu,

Dank der Signalwirkung des Aufrufs
erfolgt mit einer kleinen Verspätung doch noch
eine Reaktion meinerseits auf die Bitte von Zaph,
bei der Lösung der Aufgabe von chnueschu
mitzuhelfen.

Meine Hilfestellung fällt allerdings etwas
bescheiden aus; das Nötige und Mögliche ist von
Euch bereits gesagt worden und mein Kommentar
wird nicht viel weiterhelfen.
Da chnueschu offenbar ein Landsmann von mir ist,
gehe ich schon aus nationalen Gründen auf
sein Problem ein.

Mein Vorschlag
Man untersuche zuerst die vereinfachte Gleichung
tan x – x - y = 0 mit y als Parameter, zunächst mit
der Einschränkung 0 < y.
Am numerischen Beispiel y = 2 sehe man zu,
wie der Hase läuft ( im Moment sehr aktuell ! )
und gehe später aufs Ganze, indem man das gelernte
in einem Programm zusammenfasst.
Wir lösen also zuerst näherungsweise die Gleichung
tan x – x - 2 = 0

Anmerkung
Es ist erwünscht, dass man mit Sicherheit
eines der Verfahren von Hand durchziehen kann.
Ueberträgt man etwa Maple die Aufgabe, so kommt unter
Umständen eine komplexe Lösung heraus, nämlich:
x = -1,8709....- i 1,1664...

In der folgenden Rechnung wird mit der Methode von Fourier ,
einem Mix der Regula falsi und der Newtonschen Methode ,
gearbeitet.

Diese Methode funktioniert so
Gegebene Gleichung:
f(x) = 0
Für die Näherungswerte a und b gelte f(a) * f(b) < 0
Im Intervall (a,b) soll weder die erste Ableitung f ´(x) noch
die zweite Ableitung f ´´(x) das Vorzeichen wechseln.

Gesucht werden zwei bessere Näherungswerte a1 , b1.

Man hat zwei Fälle zu unterscheiden

(I)
Im Intervall (a,b) sei das Produkt f ´(x) * f ´´(x) negativ.
Wir berechnen:
a1 = a - f (a) / f ´ (a) & b1 = b – f (b)* ( b – a ) / [f (b) – f (a) ].


(II)
Im Intervall (a,b) sei das Produkt f ´(x) * f ´´(x) positiv
Wir berechnen:
a1 = a – f (a)* ( b – a ) / [f (b) – f (a) ] & b1 = b - f (b) / f ´ (b)
u.s.w.
Abschluss mit x = ½ *(an + bn) , Fehlerschranke: x = ½ *(bn - an)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Im vorliegenden Fall gilt
f(x) = tan x – x – 2 ; f ´(x) = { tan x } ^2 ,

f ´´(x) = 2 * tan x * [1 + { tan x } ^2 ] ;

f ´(x) * f ´´(x) > 0 in (0, ½ *Pi) ; somit gilt Fall (II).

Mit den Startwerten a = 1 , b = 1,4 kommt
f(a)= -1,4426 , f(b) = 2,3979

Weiter:

a1 = 1,1503 ; f(a1) = - 0,9140
b1 = 1,3287 ; f(b1) = 0,7209

a2 = 1,2500 ; f(a2) = - 0,2404
b2 = 1,2847 ; f(b2) = 0,1147

a3 = 1,2735 ;
b3 = 1,2748 ;

u s. w.
x = ½ *(a3 + b3) = 1,27415
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fehlerschranke: x = ½ (b3 – a3) = 0,00065

So weit !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath









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Zaph (zaph)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 20:41:   Beitrag drucken

Hallo Megamath,

danke für die Hilfestellung. Die Methode von Fourier ist mir neu, angewandte Mathematik ist aber auch nicht gerade meine Leibspeise. Dachte allerdings eigentlich eher an die Potenzreihenentwicklung der Umkehrfunktion. Ich weiß zwar, wie man die Koeffizienten sukzessive berechnen kann (einsetzen einer allgemeinen Potenzreihe S aixi in die Potenzreihe von g, Koeffizientenvergleich mit der Identität) aber jetzt nicht, wie man einen geschlosenen Ausdruck für ai findet.

BTW, aus welchem Hinweis ist zu schließen, dass chnueschu aus der Schweiz kommt??

Schönen Gruß

Zaph
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chnueschu
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:25:   Beitrag drucken

Hallo Megamath, hallo Zaph,

Herzlichen Dank für eure Beteiligung an meinem Problem!

Zaph hat Recht: ich möchte gerne einen geschlossenen Ausdruck für die Berechnung der Urbild-Punkte von g. (Obwohl ich die Methode von dir, Megamath, interessant finde!)
Wenn sich eine Potenzreihe finden liesse, könnte man sie ja nach einigen Summanden abbrechen.

Habt ihr noch etwas Zeit, eure Kapazität in meine Wünsche zu investieren...? Wäre nett.

Gruss von mir, chnüschu.

PS: Ich komme tatsächlich aus der Schweiz...
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:57:   Beitrag drucken

Hi chnüschu, Hi Zaph.

Es ist in der Tat nicht schwierig, die Herkunft von Chnüschu
zu ermitteln.
Das zeigt sein Pseudonym mit aller Deutlichkeit.
Mn könnte zuerst der Meinung sein, der Name sei
chinesischer Herkunft.
Der genaue Wortlaut weist jedoch auf das Bernbiet hin,
welches einst zu meiner engeren Heimat gehörte.
Im Emmental zum Beispiel gibt es Chnüschus in grosser Zahl,
die man am besten fortlaufend nummeriert, so dass sie immerhin
eine abzählbare Menge darstellen

Die Problematik der Aufgabe von Chnüschu I habe ich schon
erkannt, finde aber momentan keinen Zugang zu einer
brauchbaren Lösung.

Kommt Zeit, kommt Rat ?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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