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Beitrag |
    
chris a.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 13:12: | 
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Helft mir bitte bei folgender Aufgabe
a)Man berechne das Minimum x0 der funktion
f(x,y,z)=x+y+z unter der Nebenbdingung, dass alle Koordinaten x,y,z postitiv sind und xyz=1 erfüllen.
b) Mit hilfe von a) beweise man die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen mittel
(x+y+z)/3>=3 wurzel aus xyz
(x,y,z >0)
mfg
Chris a. |
orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 14:45: |
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Hallo :
Lösungsvorschlag:
a) Betrachte nach Lagrange die Funktion
G(x,y,z,t) := x+y+z - t*xyz
(Der Parameter ist ein sog. Lagrange-
Multiplikator, siehe Theorie !)). Um das Minimum von x+y+z
unter der Nebenbedingung xyz=1 zu finden,
hat man die partiellen Ableitungen von G
nach x,y,z gleich Null zu setzen. Das ergibt
die Bedingungen x=y=z=t (rechne nach !),
woraus x+y+z >= 3 mit Gleichheit genau
für x=y=z=1 folgt.
b) Setze
X := x*(xyz)^(-1/3),
Y := y*(xyz)^(-1/3),
Z := z*(xyz)^(-1/3)
und führe damit b) auf a) zurück.
mfg
Orion
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orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 17:48: |
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Nachtrag zu a) :
Es geht auch ohne schweres Geschütz :
xyz = 1 ==> nicht alle drei Faktoren sind > 1
bzw. <1.>1, also
(1-x)(y-1) > 0 <==> x+y > 1 + xy = 1 + 1/z
==> x+y+z > 1 + z + 1/z = 3 + (1/z)(z-1)^2 >= 3
==> x+y+z > 3 .
Orion |
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