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Kriterien für Äquivalenz/Ähnlichkeit ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » Kriterien für Äquivalenz/Ähnlichkeit von 2 Matrizen? « Zurück Vor »

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Claudia
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 17:34:   Beitrag drucken

Aufgabe 1:

Gegeben sind 2 Matrizen (zeilenweise zu lesen)
A = [1,2,3]; [1,1,3];[0,2/3,0]
B = [1,2,3];[1,-1,0];[0,2,2]

Frage : Sind diese 2 Matrizen ähnlich ? Begründen Sie !

Aufgabe 2:

Gegeben sind 2 Matrizen (zeilenweise zu lesen)
A = [1,-2,3,-4]; [-7,5,-3,8];[-4,-1,6,-4]
B = [6,3,-5,4] ; [3,1,1,6] ;[0,1,-7,-8]

Frage : Sind diese 2 Matrizen äquivalent ? Begründen Sie !

Kann mir einer die Kriterien für die Äquivalenz/Ähnlichkeit von 2 Matrizen nennen und vielleicht ganz konkret am obigen Beispiel nennen ? Ist sehr dringen , da ich morgen Klausur schreibe , mir das noch fehlt und ich einfach nicht dahinter komm wie man sowas angeht.

Gruss,
Claudia
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 18. März, 2002 - 13:46:   Beitrag drucken

Hi Claudia,

Teilaufgabe 2
Für die Aequivalenz zweier Matrizen A und B ist erforderlich,
dass die Zeilenzahl m und die Spaltenzahl n paarweise
übereinstimmen, d.h. dass beide Matrizen von gleichem Typ
( m , n ) sind.
Ferner müssen die Matrizen im Rang r übereinstimmen , d.h .
es muss gelten rang(A) = rang(B)
In CAS-Systemen setze rank(A) und rank(B)
Bei Deinem Beispiel sind beide Bedingungen erfüllt:
m = 3 , n = 4 für A und B.
Beide Matrizen haben den Rang 2, wie man separat ermittelt.

Hinweis
In beiden Matrizen ist die Maximalzahl linear unabhängiger
Zeilenvektoren zwei , daher r = 2.
Nachweis der Abhängigkeit
Matrix A: die dritte Zeile ergibt sich so:
dreimal erste Zeile plus zweite Zeile.
Matrix B: die dritte Zeile ergibt sich so:
erste Zeile minus zweimal die zweite Zeile.

Bei der ersten Teilaufgabe musst Du für die Aehnlichkeit
nachweisen, dass beide Matrizen in ihren Spuren und
Determinanten übereinstimmen.
Dies trifft nun tatsächlich zu:
spur(A) = spur(B) = 2
Spur (= trace): Summe der Elemente in der Hauptdiagonalen
der Matrix; ferner gilt
det(A) = det(B) = 0
Beide Matrizen stimmen in ihren Eigenwerten überein.
Diese lauten: 0 , -1 , 3.

Kennst Du diese Begriffe ? Eventuell auch den Begriff der
begleitenden Matrix oder Frobenius-Matrix ?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.


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