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Grenzwerte von Funktionen

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Mona
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 16:12:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe

Bestimme die Grenzwerte für h
strebt gegen null bei festem x.
a) lim [{sin (x +h) + sin (x - h) – 2 sin x }/ h^2 ]
b) lim [{ln(x +h) + ln(x - h) – 2 ln x }/ h^2 ]

Vielen Dank im Voraus
Mona
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 17:50:   Beitrag drucken

Hi Mona,

Beide Grenzwerte können mit Hilfe der Regel von
de L´ Hospital Bernoulli ermittelt werden; für h = 0
entsteht ja die so genannte unbestimmte Form 0/0.

Wir leiten Zähler und Nenner je separat nach h
(nicht nach x!) ab und dieses Prozedere ist bei jeder
Teilaufgabe zweimal auszuführen .

Wir erhalten
a) g = lim [{ sin (x + h) + sin (x - h) – 2 sin x }/ h^2 =
lim [{ cos (x + h) - cos (x - h) – 0 }/ ( 2 h ) =
lim [{- sin ( x + h ) – sin( x – h ) } / 2 =

- sin x als Grenzwert.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b) g = lim [{ ln (x + h) + ln (x - h) – 2 ln x }/ h^2 =
lim [{ 1/(x+h) - 1/(x - h) – 0 }/ ( 2 h ) =
lim [{- 1( x + h )^2 – 1/( x – h )^2 } / 2 =

- 1 / x^2 als Grenzwert
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Anmerkung
Wie man leicht einsieht, muss das Ergebnis jeweils mit der
zweiten Ableitung der vorgegebenen Funktion f(x) nach x
übereinstimmen:
In Teilaufgabe a) ist f(x) = sin x mit f ´´(x) = - sin x ;
bei Teilaufgabe b) gilt f(x) = ln x mit f ´´(x) = - 1 / x^2

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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