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Mona
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 16:12: |
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Hallo, Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe Bestimme die Grenzwerte für h strebt gegen null bei festem x. a) lim [{sin (x +h) + sin (x - h) – 2 sin x }/ h^2 ] b) lim [{ln(x +h) + ln(x - h) – 2 ln x }/ h^2 ] Vielen Dank im Voraus Mona
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 17:50: |
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Hi Mona, Beide Grenzwerte können mit Hilfe der Regel von de L´ Hospital Bernoulli ermittelt werden; für h = 0 entsteht ja die so genannte unbestimmte Form 0/0. Wir leiten Zähler und Nenner je separat nach h (nicht nach x!) ab und dieses Prozedere ist bei jeder Teilaufgabe zweimal auszuführen . Wir erhalten a) g = lim [{ sin (x + h) + sin (x - h) – 2 sin x }/ h^2 = lim [{ cos (x + h) - cos (x - h) – 0 }/ ( 2 h ) = lim [{- sin ( x + h ) – sin( x – h ) } / 2 = - sin x als Grenzwert. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° b) g = lim [{ ln (x + h) + ln (x - h) – 2 ln x }/ h^2 = lim [{ 1/(x+h) - 1/(x - h) – 0 }/ ( 2 h ) = lim [{- 1( x + h )^2 – 1/( x – h )^2 } / 2 = - 1 / x^2 als Grenzwert °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Anmerkung Wie man leicht einsieht, muss das Ergebnis jeweils mit der zweiten Ableitung der vorgegebenen Funktion f(x) nach x übereinstimmen: In Teilaufgabe a) ist f(x) = sin x mit f ´´(x) = - sin x ; bei Teilaufgabe b) gilt f(x) = ln x mit f ´´(x) = - 1 / x^2 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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