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Mark
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 16:31: | 
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Hallo zusammen. Ich komme hier bei dem Problem einfach nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir helfen!?
Es seien U, V, W Vektorräume über dem Körper K und phi: U-->V, psi:V-->W lineare Abbildungen. Ferner seien n=dim(v), r=Rang(phi), s=Rang(psi) und t=Rang(psi°phi)(=verknüpft)
a) Zeigen sie: Es gilt r+s-n<=t<=min{r,s}
b) Geben sie ein Beispiel mit r=s=3 und t=1 an |
Julie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 15:03: |
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Hi!
Ich nehme mal an, Ihr hattet schon die Dimensionsformel, die besagt, dass fuer eine lineare Abbildung phi:V-->W gilt:
dim V = dim Kern phi + Rang phi
Damit bekommst Du erstmal die Gleichungen:
dimU = n = dim Kern phi + Rang phi
also
dim Kern phi = n-r (1)
und analog
dim V = dim Kern psi + Rang psi
also
dim Kern psi = dim V - s (2)
und nochmal analog:
dim V = dim Kern (psi*phi) + Rang (psi*phi)
also
n = dim Kern (psi*phi) +t (3)
Jetzt ueberlegt man sich, wie die Dimension des Kerns von psi*phi aussieht: Erstmal sind sicherlich alle Elemente, die im Kern von phi sind, auch im Kern von psi*phi. Es kommen dann noch Elemente hinzu, die bei psi auf Null abgebildet werden, aber sicher gilt:
dim Kenr (psi*phi) <=dim Kern phi + dim Kern psi (4)
Insgesamt haben wir jetzt
n = dim Kern(psi*phi) +t (wegen (3))
<= dim Kern phi +dim Kern psi +t (wegen (4))
= n-r + n-s + t (wegen (1) und (2)
und auf beiden Seiten -2n + r +s liefert dann
r+s-n<=t
Seien jetzt x_1,...x_t t linear unabhaengige Elemente aus dem Bild von psi*phi (die muss es ja geben, so ist der Rang definiert). Damit ist schon mal t<=Rang psi =s. Dann gibt es y_1,...y_t in U so dass psi*phi(y_i) = x_i ist fuer i=1..t. Natuerlich muessen diese Elemente y_i auch linear unabhaengig sein (linear abhaengige Elemente werden von linearen Abbildungen auf linear abhaengige Elemente abgebildet). Dann muessen aber phi(y_i) i = 1..t linear unabhaengig sein (sonst waeren die nach Anwendung von psi erst recht linear abhaengig), also t <=rang phi = r und damit t<=min(r,s).
Ich gebe zu, der letzte Teil ist noch nicht sehr schoen formuliert, aber eigentlich muesste die Idee klar sein, wenn Du Dir mal ueberlegst, was linear unabhaengig bedeutet.
Das Beipiel kommt spaeter, wenn mir eins einfaellt.
Julie |
Julie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 15:52: |
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Hier kommt das Beispiel:
Sei U der Raum der Polynome vom Grad <=3 in x mit Koeffizienten in R (das ist ein Vektorraum der Dimension 4 mit Basis 1,x,x^2,x^3), V der Vektorraum aller Polynome vom Grad <=4 und W=V.
Sei phi: U--> V gegeben durch phi(p) = dp/dx (also Ableitung). Offensichtlich sind genau alle Konstanten Polynome im Kern, der hat demnach Dimension 1 und der Rang von phi ist damit 3.
Sei psi die Abbildung definiert durch psi(p) = d^2p/dx^2 (zweite Ableitung). Diesmal werden alle konstanten oder linearen Polynome auf Null abgebildet, der Kern hat demnach Dimension 2 und da V die Dimension 5 hat (Basis 1,x,x^2,x^3,x^4), ist der Rang von psi auch drei. Die Abbildung psi*phi ist jetzt die dritte Ableitung d^3p/dx^3 und hat damit alle Polynome vom Grad <=2 im Kern, also ist dessen Dimension 3. Da U aber nur die Dimension 4 hatte, ist t = 4-3=1 wie gesucht.
Alles Liebe
Julie |
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