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Michael Bresa (Rockus)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 20:42: | 
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Moin! :o)
Hab da mal eine Frage zum Thema "Folgen & Reihen".
Also, es ist mit Hilfe des Wurzelsatzes folgende Reihe auf Konvergenz hin zu untersuchen.
[SUMME von k=1 bis unendl.] k / 2^k
Ist gar nicht weiter wild, man rechnet ein bißchen fröhlich rum und erhält zum Schluß einen Term, in dem es nur noch gilt, zu zeigen daß folgender Term kleiner/gleich einem Q echt kleiner NULL ist:
k ^ (1/k) bzw. k-te Wurzel aus k.
Ganz schön und gut, ich kann ein paar Zahlen in den Taschenrechner tippern und mir das Verhalten angucken - aber das ist in der bevorstehenden Klausur sicherlich als Begründung nicht so ratsam.
Wer kann mir mit einer tollen Idee helfen.
Ich denke da an eine Abschätzung oder sowas.
Z.b. gilt aufgrund der Bernoullischen Ungleichung ja auch:
(1 + (1/k))^k >= 1+ k * (1/k) = 2
Gibbet da sowas in der Art für k ^ (1/k)?
Würd mir echt weiterhelfen, weil das bisher von meinen Übungsaufgaben der einzige Stolperstein für mich ist.
Danke 
Viele Grüße aus Elmshorn (Nordakademie-Student) ;)
Michael |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 23:20: |
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hm...muß es denn wirklich das Wurzelkriterium sein ?
Quotienten oder Majorantenkriterium wären wesentlich einfacher,denke ich.
Quotientenkriterium
[(k+1):2k+1]*[2k:k] = (k+1) : (2k) = (1/2)+1/(2k) < (3/4) für k>2
Majorantenkriterium
2k=Sk i=0 (k über i) ³ (1/6)k3
also gilt
S¥ k=0 k/2k £ S¥ k=0 k/((1/6)k3) = S¥ k=0 6/k2 |
Alf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 02:06: |
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Die Lösung geht auch mit dem Wurzelkriterium ganz gut.
Michael, Du hast geschrieben:
"...und erhält zum Schluß einen Term, in dem es nur noch gilt, zu zeigen, daß folgender Term kleiner/gleich einem Q echt kleiner NULL ist:
k ^ (1/k) bzw. k-te Wurzel aus k."
Das stimmt so nicht ganz. Es muß heißen, daß
k^(1/2)/2 für fast alle k kleiner/gleich einem Q echt kleiner als EINS !!! ist.
Da k^(1/k) gegen 1 konvergiert, strebt k^(1/k)/2 gegen 1/2. Für Q ist somit jeder Wert
geeignet, der größer als 1/2 und kleiner als 1 ist.
Es bleibt der Beweis, daß k^(1/k) gegen 1 strebt:
Zu zeigen ist, daß für fast alle k gilt:
k^(1/k)-1 < e
k < (e+1)^k
Nach der Binomischen Formel gilt:
(k-1)*k/2*e^2 < (e+1)^k
(Hinweis: (k-1)*k/2*e^2 ist ein Summand von k+1 Summanden innerhalb des binomischen Polynoms. Alle Summanden sind positiv.)
Es reicht also zu zeigen, daß gilt:
k < (k-1)*k/2*e^2
k > 1+2/e^2
q.e.d.
Wie die siehst, hast Du mit Deiner Vermutung nach einer geeigneten Abschätzung schon recht gehabt. Nur war es statt der Beroullischen Ungleichung die Binomische Formel.
M.f.G. Alf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 11:17: |
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An die Spezialisten für unendliche Reihen,
Bei dieser Gelegenheit möchte ich auf ein Kriterium aufmerksam
machen, das Gefahr läuft, in Vergessenheit zu geraten.
Dies wäre schade, denn es kann hie und da gute Dienste leisten.
Gemeint ist das Integralkriterium von Maclaurin - Cauchy.
Es lautet so:
Für die natürliche Zahl n0 sei die Funktion f(x) für x > = n0
positiv, stetig und monoton fallend und es gelte
ak = f(k) , [ k = n0 , n0 +1,...]
Dann ist notwendig und hinreichend für die Konvergenz der
unendlichen Reihe
sum [ak] , k = n0 ad infinitum , dass die Folge der Integrale
int [f(x) * dx ] , untere Grenze n0 , obere Grenze n
[n = n0 , n0 + 1 .... ]
beschränkt ist.
Um mit diesem Kriterium vertraut zu werden, wenden wir es auf
f(x) = 1 / x ^ s ( s > 0 ) an. , mit n0 = 1.
Für s nicht 1 kommt [ Grenzen des Integrals: 1 bis n ] :
int [f(x) * dx] = 1 / (1 - s ) * [1 / (n ^ (s-1)) - 1]
und für s = 1 (dieselben Grenzen) :
int [f(x) * dx] = ln (n) .
Die Folge der Integrale ist genau dann beschränkt, wenn s > 1 gilt.
Daraus folgt der bekannte Satz über die Konvergenz der unendlichen
Reihe
sum [1 / n ^ s] für alle s > 1.
Was die von Michael Bresa vorgelegte unendliche Reihe anbelangt,
kommt man bei ihr auch mit dem Integral - Kriterium zum Ziel,
wie in der folgenden Rechnung angedeutet werden soll.
Mit f(x) = x / (2 ^ x ) und n0 = 2 erhalten wir das Integral:
F(n) = int [ x / (2 ^ x) * dx ], untere Grenze 2 , obere Grenze n ,
welches wir durch partielle Integration ermitteln.
Wir erhalten nach sorgfältiger Rechnung:
F(n) = [2 * ln 2 + 1] / [4* ( ln 2 ) ^2] - [n* ln2 + 1 ] / [ (ln2)^2 * 2 ^ n ]
n = 2 , 3 , 4......
Die Folge der Fn ist offensichtlich beschränkt.
Die Bedingungen des Kriteriums sind somit erfüllt und die gegebene Reihe konvergiert.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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