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Beitrag |
    
Ferdinand F.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 12:30: | 
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Hallo
Bei der folgenden Aufgabe finde ich keine Lösung
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind die Integrale I1, I2.
I1;Integrand 1/ sqrt(1-x^4),untere Grenze 0,obere Grenze 1.
I2;Integrand sqrt (cos x),untere Grenze 0, obere Grenze Pi/2.
Man drücke das Produkt I1*I2 integralfrei aus und vereinfache das
Resultat so stark wie möglich.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar !.
Ferdinand F.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 16:56: |
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Hi Ferdinand,
Wir berechnen zuerst die Integrale J1 und J2 einzeln
und bilden schliesslich ihr Produkt J1*J2.
Beide Male führen wir die Integrale durch geeignete
Substitutionen
auf Betafunktionen zurück, deren Werte wir mit einer
bekannten Formel mittels der Gammafunktion ausdrücken.
Dies geht so:
Ausgangspunkt ist, wie gesagt, die Betafunktion
oder das Eulersche Integral erster Gattung
B(p , q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Mit Hilfe der Gammafunktion G(p)
(Eulersches Integral zweiter Gattung)
G(p) = int [e ^ (-x) * x^(p-1) * dx ] , (p>0)
kann B(p,q) auch so geschrieben werden:
B(p , q) = [G(p)* G(q) ] / [G(p+q) ] .
Ausführung
I.
Integral J1 = int [1/wurzel (1-x^4 ) * dx], untere Grenze 0,
obere Grenze 1.
In diesem Integral substituieren wir so:
x^4 = z , 4*x^3 *dx = dz
Es entsteht:
J1 = ¼ * int [z^(- ¾ ) * (1-z)(- ½ ), Grenzen in z unverändert.,
daraus folgt:
J1= ¼ * B(¼, ½) = ¼ * [G( ¼ ) * G( ½)] / G( ¾ ).
Nun ist G( ½ ) = wurzel(Pi) und
G(¼ ) * G(¾ ) = Pi * wurzel(2)
Somit gilt:
J1= ¼ *Pi * wurzel(2*Pi) / [G( ¾ )] ^2………………………………(1)
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II.
Integral J2 = int [wurzel (cos x) * dx],untere Grenze 0,
obere Grenze ½*Pi
In diesem Integral substituieren wir so:
(cos x ) ^ 2 = z , (sin x ) ^ 2 = 1 – z , dz = - 2 * cos x * sin x
Es entsteht:
J2 = ½ * int [z^(- ¼ ) * (1-z)(- ½ ),untere Grenze z = 0 , obere Grenze 1
J2 = ½ * B( ¾ , ½) = ½ * [G(¾) * G(½)] / G(5/4).
Nun ist G( ½ ) = wurzel(Pi) und
G( 5/4 ) = ¼ * Pi * wurzel(2) / G(¾)
Somit gilt:
J2= 2 * [G( ¾ )] ^ 2 / wurzel(2*Pi)………………………………......(2)
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Jetzt multiplizieren wir die Ergebnisse aus (1) und (2)
Als Resultat kommt nach leichter Rechnung:
J1 * J2 = ½ * Pi.
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MfG
H.R.Moser,megamath.
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