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f(x,y)=exp(-3x²+4xy-5y²) ...

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Sue
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 00:26:   Beitrag drucken

Hallo!

Könnte mir bitte jemand bei diesem Beispiel ein wenig behilflich sein?

Ermittle alle Punkte (x,y), wo die Funktion f(x,y)=exp(-3x²+4xy-5y²)

a) ein lokales Minimum
b) ein lokales Maximum
(Auch "Es gibt keinen solchen Punkt" ist eine mögliche Antwort)

lg,
Sue
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ChristineB
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 07:58:   Beitrag drucken

Hallo Sue,
f(x,y)=exp(-3x²+4xy-5y²)
wir bilden die partiellen Ableitungen:
fx = (-6x+4y)*exp(-3x²+4xy-5y²)
fy= (4x-10y)*exp(-3x²+4xy-5y²)
und bilden das Gleichungssystem
fx=0
fy=0
ergibt als Lösung. x = 0, y=0
Der Punkt (0;0) ist ein stationärer Punkt.
Um festzustellen ob Min oder Max oder Sattelpunkt, bilden wir die Hesse Matrix:
H =
fxx fxy
fyx fyy
und davon die Determinante.
fxx(0,0) = -6
fxy(0,0) = fyx(0,0) = 4
fyy(0,0) = -10
die Hesse Matrix für die Stelle (0,0) also:
-6 4
4 -10
Die Determinante d= 44

Weil d>0 und fxx < 0, hat die Funktion f(x,y) im Punkt (0,0) ein lokales Maximum.
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orion (orion)
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Neues Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 08:38:   Beitrag drucken

Hallo :

Setze

g(x,y) := -3x^2+4xy-5y^2.

Weil exp streng monoton wachsend und
positiv ist, genügt es, g(x,y) auf lokale
Extrema zu untersuchen. Die Kriterien sollten
bekannt sein: Notwendig aber nicht hinreichend für ein lokales Extremum an einer Stelle (x_0,y_0) ist das Verschwinden der 1. partiellen Ableitungen an dieser Stelle:

g_x(x_0,y_0) = g_y(x_0,y_0) = 0.

Das Vorhandensein und die Art des Extremums hängt vom Vorzeichen von
g_xx(x_0,y_0) und vom Vorzeichen der
Diskriminante

D := g_xx*g_yy - (g_xy)^2

im Punkt (x_0,y_0) ab :

D > 0 und g_xx < 0 : lokales Maximum

D > 0 und g_xx > 0 : lokales Minimum

D < 0 : kein lokales Extremum

D = 0 : Weitere Untersuchungen bzgl.
höherer partieller Ableitungen erforderlich
(Taylor-Entwicklung )

Rechne nun selbst.

mfg

Orion



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