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Sue
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 00:26: |
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Hallo! Könnte mir bitte jemand bei diesem Beispiel ein wenig behilflich sein? Ermittle alle Punkte (x,y), wo die Funktion f(x,y)=exp(-3x²+4xy-5y²) a) ein lokales Minimum b) ein lokales Maximum (Auch "Es gibt keinen solchen Punkt" ist eine mögliche Antwort) lg, Sue |
ChristineB
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 07:58: |
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Hallo Sue, f(x,y)=exp(-3x²+4xy-5y²) wir bilden die partiellen Ableitungen: fx = (-6x+4y)*exp(-3x²+4xy-5y²) fy= (4x-10y)*exp(-3x²+4xy-5y²) und bilden das Gleichungssystem fx=0 fy=0 ergibt als Lösung. x = 0, y=0 Der Punkt (0;0) ist ein stationärer Punkt. Um festzustellen ob Min oder Max oder Sattelpunkt, bilden wir die Hesse Matrix: H = fxx fxy fyx fyy und davon die Determinante. fxx(0,0) = -6 fxy(0,0) = fyx(0,0) = 4 fyy(0,0) = -10 die Hesse Matrix für die Stelle (0,0) also: -6 4 4 -10 Die Determinante d= 44 Weil d>0 und fxx < 0, hat die Funktion f(x,y) im Punkt (0,0) ein lokales Maximum. |
orion (orion)
Neues Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 11. März, 2002 - 08:38: |
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Hallo : Setze g(x,y) := -3x^2+4xy-5y^2. Weil exp streng monoton wachsend und positiv ist, genügt es, g(x,y) auf lokale Extrema zu untersuchen. Die Kriterien sollten bekannt sein: Notwendig aber nicht hinreichend für ein lokales Extremum an einer Stelle (x_0,y_0) ist das Verschwinden der 1. partiellen Ableitungen an dieser Stelle: g_x(x_0,y_0) = g_y(x_0,y_0) = 0. Das Vorhandensein und die Art des Extremums hängt vom Vorzeichen von g_xx(x_0,y_0) und vom Vorzeichen der Diskriminante D := g_xx*g_yy - (g_xy)^2 im Punkt (x_0,y_0) ab : D > 0 und g_xx < 0 : lokales Maximum D > 0 und g_xx > 0 : lokales Minimum D < 0 : kein lokales Extremum D = 0 : Weitere Untersuchungen bzgl. höherer partieller Ableitungen erforderlich (Taylor-Entwicklung ) Rechne nun selbst. mfg Orion
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