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Einheitselement von G

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Gruppentheorie » Einheitselement von G « Zurück Vor »

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Nora
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Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 01:24:   Beitrag drucken

Hi Leute!

Ich habe hier überhaupt keinen Ansatz und bin schon ganz verzweifelt.

Folgendes ist zu lösen:
Stelle die Verknüpfungstafel für die Permutationsgruppe G ist Teilmenge von S4 mit der Generatormenge{(2,4,3,1)}auf.

(Die Notation (a1, .... , a4) bedeutet p(1) = a1, ... , p(4) = a4.)

Gib das Einheitselement von G sowie das inverse Element zu (2,4,3,1) an.
(Hinweis: G hat drei Elemente)

Tausend Dank jetzt schon!

Es grüsst Euch ganz herzlich,
Nora
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 03:17:   Beitrag drucken

Hi Nora,

Betrachte das bitte nicht als verbindlich richtige
Lösung, ist mehr so'n Test für mich, ob ich's noch richtig weiß...


Ich muss gestehen, dass ich hier mehr rate als
argumentiere, weil's einfach schon zu lange her
ist. Der Hinweis: G hat drei Elemente und meine
Vermutung, dass Anfragen unter "Universitäts-Niveau
manchmal recht lange ohne Antwort bleiben, hat den
Ausschlag gegeben, dass ich meinen Vorschlag mal
hier reinschreibe.

Also: die "Generatormenge" (den Namen kenn ich jetzt nicht)
gibt vor, welche Vertauschung der Elemente
(1,2,3,4) du anstellen sollst.
du schreibst 1 an die zweite Stelle, 2 an die
vierte, 3 an die dritte und 4 an die erste und erhältst
(2,4,3,1)

Also könntest du formal untereinander schreiben
1234
2431

Ich glaube, dies Ding heißt schlicht "Permutation"

Bis jetzt ergab sich ja noch nichts wesentlich
neues. Jetzt kommt's aber: dasselbe Spiel machst
du jetzt mit der (2,4,3,1), d. h.

du kannst nämlich das Element (2,4,3,1) jetzt wieder
nach (2,4,3,1) vertauschen, also die 4 an die
erste Stelle, denn an die erste Stelle soll ja das
zweite Glied der ersten Klammer. Die 1 an die zweite Stelle,
denn an die zweite Stelle soll das
vierte Glied der oberen Klammer. Die 3 an die dritte
Stelle, denn an die dritte Stelle soll ja das dritte
Gliede der ersten Klammer. Die 2 an die vierte
Stelle, denn an die vierte Stelle soll das erste
Glied der ersten Klammer.
Also steht da jetzt (4,1,3,2)


formal ergäbe sich hier für die Permutation:
1234
4132



Zum Drittenmal machst du jetzt die Vertauschung
"das zweite an erste Stelle, das vierte an zweite
Stelle, das dritte an dritte Stelle und das erste
an vierte Stelle"
Also die 1 an Platz eins, die 2 an Platz zwei, die
3 an Platz drei, die 4 an Platz vier und erhältst
(1,2,3,4)

formal also:
1234
1234


Das muss ja auch so sein, wenn es nur drei Elemente
geben soll.

Das inverse Element ist das, woraus sich nach der
Vertauschungsregel das Element (1,2,3,4) ergibt.
Also ist das inverse in diesem Fall (4,1,3,2)

.


.


.


Falls das inverse Element hierbei nicht
aufgetaucht wäre, könntest du dich auch fragen:

"Was muss ich im Ausgangselement stehen haben,
damit nach obiger Vorgehensweise eine 1 an die
erste, 2 an die zweite, 3 an die dritte und 4 an
die vierte Stelle kommt?

Antwort:
(4,1,3,2)

Diese Textfragerei kannst du ersetzen durch Aufschreiben
der Permutation, von der die Inverse gesucht ist,
so, dass obere und untere Zeile miteinander getauscht
haben:
1234
2431


und dann umsortieren der unteren Elemente, so dass
in der unteren Zeile 1,2,3,4 steht:

4132
1234


Das war das inverse Element, auf das du nicht
zwingend irgendwann im Durchlauf aller Vertauschungen
sowieso gekommen wärst, denn es muss
nicht in einem "Zyklus" vorgekommen sein.


.


.


.


Mit deinen a1...a4 und p(1)... kann ich
im Moment nichts mehr anfangen.

Wenn ich die Verknüpfungstafel aufstellen sollte,
dann hätte ich ja bloß meine oben erhaltenen drei
Elemente, wenn bei dir von vier Namen die Rede ist,
keine Ahnung !


ich gebe jetzt mal willkürlich Namen:

x=(2,4,3,1)
y=(4,1,3,2)
z=(1,2,3,4)

und kann sagen:
wende ich x auf x an, erhalte ich y
wende ich x auf y an, erhalte ich z
wende ich x auf z an, erhalte ich x

wende ich y auf x an, erhalte ich z
wende ich y auf y an, erhalte ich x
wende ich y auf z an, erhalte ich y

wende ich z auf x an, erhalte ich x
wende ich z auf y an, erhalte ich y
wende ich z auf z an, erhalte ich z

Das Einheitselement musste also z gewesen sein, da
es alle Elemente unverändert gelassen hat.

Die Gruppentafel müsste also so aussehen:

xyz
xyzx
yzxy
zxyz


wobei es üblicherweise so sein sollte, dass
das Element, was auf das andere angewendet wird,
links in der Spalte steht und das, worauf das linke
angewandt wurde, in der oberen Zeile (in diesem
Fall ergäbe sich kein Unterschied, da die "Matrix"
durch Spiegelung entlang der Hauptdiagonalen auf
sich selbst abgebildet werden kann, aber das muss
nicht so sein, z. B. gibt es Gruppen, bei denen
xy=z ist, aber yx¹z, sondern z. B. auch y ist.

Außerdem ist es (glaube ich) üblich, das Einselement,
welches hier ja z war, mit e zu bezeichnen und in
die erste der drei Zeilen und Spalten zu setzen:

exy
eexy
xxye
yyex


Solltest du auf einmal den totalen Durchblick in
Gruppentheorie bekommen, weil mein Vorschlag
wider Erwarten total richtig war, kannst du mir
später ja mal was über Irreduzibilität erzählen...
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Nora
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Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 22:22:   Beitrag drucken

Danke!!!
Ich habs ja gewusst, dass du ein Genie bist. Deine Lösung schaut wirklich nicht schlecht aus.

Nora

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