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Nora
| Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 01:24: |
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Hi Leute! Ich habe hier überhaupt keinen Ansatz und bin schon ganz verzweifelt. Folgendes ist zu lösen: Stelle die Verknüpfungstafel für die Permutationsgruppe G ist Teilmenge von S4 mit der Generatormenge{(2,4,3,1)}auf. (Die Notation (a1, .... , a4) bedeutet p(1) = a1, ... , p(4) = a4.) Gib das Einheitselement von G sowie das inverse Element zu (2,4,3,1) an. (Hinweis: G hat drei Elemente) Tausend Dank jetzt schon! Es grüsst Euch ganz herzlich, Nora |
B.Bernd
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 03:17: |
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Hi Nora, Betrachte das bitte nicht als verbindlich richtige Lösung, ist mehr so'n Test für mich, ob ich's noch richtig weiß... Ich muss gestehen, dass ich hier mehr rate als argumentiere, weil's einfach schon zu lange her ist. Der Hinweis: G hat drei Elemente und meine Vermutung, dass Anfragen unter "Universitäts-Niveau manchmal recht lange ohne Antwort bleiben, hat den Ausschlag gegeben, dass ich meinen Vorschlag mal hier reinschreibe. Also: die "Generatormenge" (den Namen kenn ich jetzt nicht) gibt vor, welche Vertauschung der Elemente (1,2,3,4) du anstellen sollst. du schreibst 1 an die zweite Stelle, 2 an die vierte, 3 an die dritte und 4 an die erste und erhältst (2,4,3,1) Also könntest du formal untereinander schreiben Ich glaube, dies Ding heißt schlicht "Permutation" Bis jetzt ergab sich ja noch nichts wesentlich neues. Jetzt kommt's aber: dasselbe Spiel machst du jetzt mit der (2,4,3,1), d. h. du kannst nämlich das Element (2,4,3,1) jetzt wieder nach (2,4,3,1) vertauschen, also die 4 an die erste Stelle, denn an die erste Stelle soll ja das zweite Glied der ersten Klammer. Die 1 an die zweite Stelle, denn an die zweite Stelle soll das vierte Glied der oberen Klammer. Die 3 an die dritte Stelle, denn an die dritte Stelle soll ja das dritte Gliede der ersten Klammer. Die 2 an die vierte Stelle, denn an die vierte Stelle soll das erste Glied der ersten Klammer. Also steht da jetzt (4,1,3,2) formal ergäbe sich hier für die Permutation: Zum Drittenmal machst du jetzt die Vertauschung "das zweite an erste Stelle, das vierte an zweite Stelle, das dritte an dritte Stelle und das erste an vierte Stelle" Also die 1 an Platz eins, die 2 an Platz zwei, die 3 an Platz drei, die 4 an Platz vier und erhältst (1,2,3,4) formal also: Das muss ja auch so sein, wenn es nur drei Elemente geben soll. Das inverse Element ist das, woraus sich nach der Vertauschungsregel das Element (1,2,3,4) ergibt. Also ist das inverse in diesem Fall (4,1,3,2) . . . Falls das inverse Element hierbei nicht aufgetaucht wäre, könntest du dich auch fragen: "Was muss ich im Ausgangselement stehen haben, damit nach obiger Vorgehensweise eine 1 an die erste, 2 an die zweite, 3 an die dritte und 4 an die vierte Stelle kommt? Antwort: (4,1,3,2) Diese Textfragerei kannst du ersetzen durch Aufschreiben der Permutation, von der die Inverse gesucht ist, so, dass obere und untere Zeile miteinander getauscht haben: und dann umsortieren der unteren Elemente, so dass in der unteren Zeile 1,2,3,4 steht: Das war das inverse Element, auf das du nicht zwingend irgendwann im Durchlauf aller Vertauschungen sowieso gekommen wärst, denn es muss nicht in einem "Zyklus" vorgekommen sein. . . . Mit deinen a1...a4 und p(1)... kann ich im Moment nichts mehr anfangen. Wenn ich die Verknüpfungstafel aufstellen sollte, dann hätte ich ja bloß meine oben erhaltenen drei Elemente, wenn bei dir von vier Namen die Rede ist, keine Ahnung ! ich gebe jetzt mal willkürlich Namen: x=(2,4,3,1) y=(4,1,3,2) z=(1,2,3,4) und kann sagen: wende ich x auf x an, erhalte ich y wende ich x auf y an, erhalte ich z wende ich x auf z an, erhalte ich x wende ich y auf x an, erhalte ich z wende ich y auf y an, erhalte ich x wende ich y auf z an, erhalte ich y wende ich z auf x an, erhalte ich x wende ich z auf y an, erhalte ich y wende ich z auf z an, erhalte ich z Das Einheitselement musste also z gewesen sein, da es alle Elemente unverändert gelassen hat. Die Gruppentafel müsste also so aussehen: wobei es üblicherweise so sein sollte, dass das Element, was auf das andere angewendet wird, links in der Spalte steht und das, worauf das linke angewandt wurde, in der oberen Zeile (in diesem Fall ergäbe sich kein Unterschied, da die "Matrix" durch Spiegelung entlang der Hauptdiagonalen auf sich selbst abgebildet werden kann, aber das muss nicht so sein, z. B. gibt es Gruppen, bei denen xy=z ist, aber yx¹z, sondern z. B. auch y ist. Außerdem ist es (glaube ich) üblich, das Einselement, welches hier ja z war, mit e zu bezeichnen und in die erste der drei Zeilen und Spalten zu setzen: Solltest du auf einmal den totalen Durchblick in Gruppentheorie bekommen, weil mein Vorschlag wider Erwarten total richtig war, kannst du mir später ja mal was über Irreduzibilität erzählen... |
Nora
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 22:22: |
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Danke!!! Ich habs ja gewusst, dass du ein Genie bist. Deine Lösung schaut wirklich nicht schlecht aus. Nora |
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