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Beitrag |
    
Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 20:41: | 
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Hallo!
Ich habe große Schwierigkeiten bei diesem Gleichungssystem. Kann mir dieses Beispiel jemand vollständig lösen.
Bitte, bitte, bitte!!!!!!
Also für welche Werte d hat das Gleichungssystem
dx+_y+_z=1
_x+2y+3z=4
_x___-_z=2
a) genau eine Lösung
b) unendlich viele Lösungen
c) keine Lösung?
(N.B.: Auch die Antwort "für kein d" ist möglich!)
Vielen Dank!
Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 04:11: |
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a) d¹1
b) für kein d
c) d=1 |
Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 00:04: |
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Hallo Bernd!
Deine Lösung ist ganz nett, hilft mir aber überhaupt nicht weiter. Ich hätte gern gewusst, wie man das lösen kann. Ich stehe total an.
Es wäre überdrübermegagenial, wenn du mir auch den Lösungsweg zeigen könntest.
Besten Dank schon einmal!
dein Namenskollege
Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 01:38: |
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Vorher eine Frage: Kannst du mit Determinanten umgehen ? |
Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 15:26: |
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Nicht ganz so gut. Könntest du mir bitte zeigen, wie das Beispiel zu rechnen ist?
Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 20:35: |
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Also dann ohne Determinanten.
Den Gauß-Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems kennst du aber, und wenn nicht, dann lernst du jetzt kennen, worum es dabei geht.
Der Gauß-Algorithmus besteht bei diesem Gleichungssystem mit drei Variablen darin,
dass du mit dem Additionsverfahren zum Lösen einer Gleichung mit 2 Unbekannten aus den letzten beiden Gleichungen z. B. das x entfernst und danach aus der dritten Gleichung noch das y.
Dann steht in der dritten nur noch z und du kannst dies ausrechnen. Dieses erhaltene z setzt du in die zweite ein (in der noch y und z standen, aber ja kein x mehr) und kannst dann y ausrechnen.
Die beiden erhaltenen z und y in die erste eingesetzt ergeben x.
Manche kehren auch die Reihenfolge um und entfernen zuerst z, dann y und dann x.
Bei diesem speziellen Fall bietet sich wiederum ein anderer Weg1) an, die Varialen zu entfernen.
Aber dann lernst du ja das Gauß-Verfahren nicht kennen.
Also schön konsequent so machen, wie oben:
dx+ y+ z=1
x+2y+3z=4
x - z=2
nimm die dritte Gleichung mal (-d) und schreibe wieder alle (rein formal, um keine zu vergessen) auf. setze dabei voraus, wenn du mit (-d) multiplizierst, darf d nicht gleich Null sein, da es keinen Sinn hat, beide Seiten einer Gleichung mit Null malzunehmen; bewahre dies für später in Erinnerung
| dx | +y | +z | = | 1 | | x | +2y | +3z | = | 4 | | -dx | | +dz | = | -2d |
Addiere die erste und die dritte Gleichung und schreibe das Ergebnis an die Stelle der dritten:
| dx | +y | +z | = | 1 | | x | +2y | +3z | = | 4 | | y | +(d+1)z | = | 1-2d |
Verfahre genauso mit der zweiten statt der dritten, das Ergebnis an die Stelle der zweiten:
| dx | +y | +z | = | 1 | | -dx | -2dy | -3dz | = | -4d | | y | +(d+1)z | = | 1-2d |
| dx | +y | +z | = | 1 | | (1-2d)y | +(1-3d)z | = | 1-4d | | y | +(d+1)z | = | 1-2d |
Jetzt musst du das Additionsverfahren auf die zweite und dritte anwenden, um y zu entfernen:
nimm die dritte mal (-1+2d) (aus demselben Grund wie oben kursiv geschrieben merke dir jetzt, dass -1+2d¹ 0), so dass erstmal da steht
| dx | +y | +z | = | 1 | | (1-2d)y | +(1-3d)z | = | 1-4d | | (-1+2d)y | +(-1+2d)(d+1)z | = | (-1+2d)(1-2d) |
addiere jetzt die zweite und dritte und schreibe das Ergebnis an die Stelle der dritten.
| dx | +y | +z | = | 1 | | (1-2d)y | +(1-3d)z | = | 1-4d | | | (1-3d)z+(-1+2d)(d+1)z | = | 1-4d+(-1+2d)(1-2d) |
Vereinfache nun erst einmal die dritte:
| dx | +y | +z | = | 1 | | (1-2d)y | +(1-3d)z | = | 1-4d | | | (-2d+2d2)z | = | -4d2 |
Also kannst du jetzt z berechnen:
z=-4d2/(-2d+2d2)
mit -2 gekürzt ergibt sich z = 2d/(1-d)
mit der Einschränkung, dass nur durch (1-d) geteilt werden durfte, wenn d¹1 war. Dies ist nicht zu verwechseln mit der oben gemachten Einschränkung: dort war vorausgesetzt, dass d nicht gleich Null wird, hier haben wir uns an obere Bemerkung erinnert, indem durch d geteilt wurde Diese Einschränkung d ¹ 1 muss in Erinnerung behalten werden (sie wird sich in dieser Aufgabe am Ende von selbst wieder in Erinnerung bringen)
Dieses z setzt du nun in die zweite ein:
(1-2d)y+(1-3d)*2d/(1-d)=1-4d
und ziehst auf beiden Seiten (1-3d)*2d/(1-d) ab:
(1-2d)y = 1-4d - (1-3d)*2d/(1-d)
so dass die rechte Seite zu
(1-2d)y = [(1-4d)(1-d)-(1-3d)*2d]/(1-d) wird.
(1-2d)y = [1-d-4d+4d2-2d+6d2)]/(1-d)
(1-2d)y = [10d2-7d+1]/(1-d)
Der Zähler rechts wird faktorisiert:
(1-2d)y = [(1-2d)(1-5d)]/(1-d)
jetzt erinnern wir uns, dass 1-2d¹ 0 war und wir deshalb jetzt durch (1-2d) teilen dürfen:
y = (1-5d)/(1-d) wieder mit der Einschränkung, dass nur durch (1-d) geteilt werden durfte, wenn d¹1 gilt.
Jetzt wollen wir noch x wissen und setzen deshalb beide, y und z, in die erste ein:
also y = (1-5d)/(1-d) und z = 2d/(1-d)
in dx+y+z=1 eingesetzt ergibt die Gleichung für x
dx + (1-5d)/(1-d) + 2d/(1-d) = 1
also ist dx = 1 - (1-5d)/(1-d) - 2d/(1-d)
dx = [ (1-d)-(1-5d)-2d ] / (1-d)
dx = 2d/(1-d)
Teilen durch d (wobei wir jetzt bemerken, dass d¹ 0 sein darf) führt auf
x = 2/(1-d)
Zusammenfassend haben wir also die Lösung des Gleichungssystems
x = 2/(1-d), y = (1-5d)/(1-d), z = 2d/(1-d)
Wobei nur dann eine Lösung existiert, wenn 1-d ¹ 0 ist, da sonst der Nenner von x, y und z Null würde.
Zwischendurch haben wir noch die Einschränkung gemacht, dass d ¹ 0 sein darf und 1-2d ¹ 0, für diese daraus folgenden Fälle d=0 oder d= 1/2 muss das System noch separat gelöst werden, jetzt aber auf die schnelle Art:
1. Fall d = 0: ohne Gaußverfahren:
y + z = 1 , stelle diese nach y um: y = 1-z
x + 2y + 3z = 4
x - z = 2 , stelle diese nach x um: x = 2+z
setze die erste und dritte in zweite ein:
2+z + 2(1-z) + 3z = 4
also 2 + 2 + z - 2z + 3z = 4
z=0
setze dies ein in
y = 1-z => y = 1
x = 2+z => x = 2
Diese Lösung {2,1,0} ist aber ebenfalls in der allgemeinen Lösung enthalten, wenn man dort d=0 einsetzt.
2. Fall d = 0.5: mit Gaußverfahren, aber die Reihenfolge der Variablenentfernung wird jetzt auf y, x, z festgelegt:
0.5x+y+z=1
x+2y+3z=4
x - z=2
nimm die erste mal (-2):
-x -2y -2z = -2
x + 2y + 3z = 4
x-z = 2
addiere die erste und zweite und schreibe das Ergebnis an die Stelle der zweiten:
-x-2y-2z = -2
z = 2
x-z = 2
zufällig fiel jetzt auch x aus der zweiten heraus, das war jetzt jedoch nicht beabsichtigt,
1)Den allgemeinen Fall mit unbestimmtem d hättest du, glaube ich, so am leichtesten angehen können.
Danach hättest du dann in der zweiten und dritten jeweils noch x und z als Variablen behalten, da dort das x nicht zufällig herausgefallen wäre, aus diesen hättest du dann wahlweise zuerst x oder z entfernen können, um dann das jeweils andere in eine dieser beiden letzten Gleichungen einzusetzen.
Also steht jetzt da
-x-2y-2*2 = -2
z = 2
x-2 = 2
oder x = 4 und z = 2, in die erste eingesetzt gibt das dann
-4 - 2y - 4 = -2
also y = -3
Diese Lösung {4,-3,2} ist ebenfalls in der allgemeinen Lösung enthalten, wenn d=1/2 gesetzt wird.
Zusammenfassend kann man also sagen, dass das Gleichungssystem für alle Werte von d außer für d=-1 lösbar ist, unendlich viele Lösungen hingegen hat es für kein d. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 20:55: |
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Universitätsniveau? |
Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 22:04: |
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Alle Achtung! Danke für die wirklich umfangreiche Erklärung! :-))
Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 22:52: |
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Hallo Bernd,
Vollkommen einsichtig? Schau dir dann zum Vergleich mal unter Universitäts-Niveau:
Lineare Algebra:
Gleichungssystem lösen.. eine ähnliche Aufgabe an.
wenn du noch Fragen hast, stell sie ruhig.
Dann aber vielleicht aber unter z. B. Klassen 11-13:
Lineare Algebra/Neuer Beitrag, damit das "Niveau" hier gehalten werden kann... |
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