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Sascha
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 10:47: | 
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Ich hab hier mal zwei Fragen, die sich während meines Grundstudiums übrig geblieben sind und die mir bisher weder Prof. noch Elitestudent vernünftig beantworten konnte (wenn das kein Anreiz ist :-)).
1. Also, ich hab als Nebenfach physikalische Chemie und da läuft man alle Nase lang einer Formel übe den Weg, die sich "eulersche Kettenformel" nennt. Sie lautet:
für x=x(z), y=y(z)
(dx/dy)z * (dy/dz)x * (dz/dx)y = -1
Die d's sollen dabei die partiellen Ableitungen bedeuten und die Variable außerhalb der Klammer soll die konstant gehaltene Variable bei der jeweiligen Differentiation sein. Ich hab jetzt mal die identische Schreibweise aus der Chemie beibehalten (die schreiben immer dazu, was beim partiellen ableiten alles konstant ist). Besonders merkwürdig finde ich, daß z.B. beim Ausdruck
(dz/dx)y die Funktion(!) y konstant gehalten wird.
Mit dieser für mich unsagbar seltsamen Formel kann man relativ schöne Ergebnisse bekommen.
Wo kommt das Ding btteschön her und wie beweist man es? (es gibt da noch drei weitere Formeln dieser Art aber ich denke mal die werden sich dann von selbst ergeben, wenn ich obiges verstanden hätte).
2. Wie kann man konkret höhere (damit meine ich höher als das zweite) Differentiale einer gegebenen Funtkion ausrechnen. Es heißt immer nur "das wird dann irgendwie was höherdimensionales" (Tensoren n-ter Stufe ?!) aber das wars auch. An welcher Stelle stehen dann welche partielle Ableitungen? Wie kann man mit solchen Objekten rumhantieren? Wendet man dann auf nen Tensor 3-ter Stufe ein Matrix an und erhält nen Vektor oder wie?
Wenn ihr mir damit aus die Sprünge helfen könntet, könnte ich mein Grundstudium wirklich als abgeschlossen bezeichnen.
Thanx
Sascha |
franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 21:21: |
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Hallo Sascha, kannst Du bitte ein Beispiel für die Anwendung der EULERschen Kettenformel aus der Physikalischen Chemie anführen; leider ist mir dieser Begriff völlig neu. F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 17:17: |
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Hallo Sascha,
Ob man nun die "konstante" Variable" (nicht Funktion!) außerhalb der Klammer hinschreibt oder nicht ist nut Formsache und ändert an dem Term nichts.
In der Physik/Chemie, insbesindere in der Thermodynamik ist es üblich immer die dritte Variable anzuschreiben. Dies beruht sicher auf historischen Gründen, hat mathematisch aber nichts zu bedeuten.
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Zur "Eulerschen Kettenformel:
(Ich wußte gar nicht, dass sie so genannt wird)
Versuch, sie in kurzer Form zu erläutern:
Vorbemerkung.
Wir betrachten eine Funktion F(x,y,z), so dass die Gleichung F(x,y,z)=0 in impliziter Form folgende Funktionen definiert:
z=f(x,y)
y=g(x,z)
x=h(y,z)
Um die partiellen Ableitungen ¶z/¶x oder ¶z/¶y zu ermitteln, kann man direkt aus der impliziten Form ableiten: dies nennt man implizite Differentiation.
Es gilt:
¶z/¶x = - Fx/Fz
und
¶z/¶y = - Fy/Fz
Für alle Stellen mit Fz ¹0
Fz ist wiederum eine andere Schreibweise für die partielle Ableitung von F nach x (¶F/¶x) usw.
Entsprechende Formeln gelten für die Ableitungen von y=g(x,z) und x=h(y,z).
Dies kann man mit der Kettenregel leicht nachweisen und ist dir sicher bekannt.
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Nun zur "Eulergleichung"
¶x ¶y ¶z
Wir wollen berechnen: ---- * ---- * ----
¶y ¶z ¶x
Nach unseren blaue Formeln ist:
¶x Fy
---- = - ----
¶y Fx
¶y Fz
---- = - ----
¶z Fy
¶z Fx
---- = - ----
¶x Fz
eingesetzt:
¶x ¶y ¶z Fy Fz Fx
--- * ---- * ---- = (- ----) * (- ----) * (- ----)
¶y ¶z ¶x Fx Fy Fz
also:
¶x ¶y ¶z Fy Fz Fx
---- * ---- * ---- = (- ------------) = - 1 qed
¶y ¶z ¶x Fx Fy Fz
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 20:51: |
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Hi allerseits,
Auch nach meiner Meinung stammt die Relation,
die Fern verifiziert hat, weder von Euler direkt,
noch wird sie ihm zugeschrieben.
Hingegen stammt ein anderer Satz im Zusammenhang
mit homogenen Funktionen mehrerer Variablen eindeutig
von Euler
Es sei vorerst an die Definition homogener Funktionen erinnert:
Eine Funktion von beliebig vielen Variablen heisst homogen
vom Grad g, wenn sich bei der Multiplikation aller dieser Variablen
mit dem beliebigen Faktor t die Funktion mit t ^ g multipliziert.
Der erwähnte Satz lautet:
Die aus den Produkten der ersten partiellen Ableitungen
einer homogenen Funktion mit den entsprechenden Variablen
gebildete Summe ist gleich dem Produkt aus der Funktion selbst
und dem Grad g der Homogenität.
Also z.B. für f(x,y) :
x * fx(x,y) + y * fy(x,y) = g * f(x,y)
fx , fy sind die partiellen Ableitungen von f nach x bezw. nach y.
Gruss
H.R.Moser,megamath |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 09:59: |
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Den Sinn der Indizierung bei Ableitungen thermodynamischer Größen sehe ich darin, daß es keine Standardvariablen gibt; auch die notwendige Zahl der thermodynamischen Potentiale eines Systems kann je nach Sachverhalt unterschiedlich sein. (An einer Anwendung der genannten Formel wäre ich nach wie vor interessiert.) F. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 13:20: |
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Hi Sascha ,
Wenn Du Differentiale höherer Ordnungen
benötigst, brauchst Du nicht sehr weit zu suchen.
Sie sind gemäss einem einprägsamen Schema
leicht anzuschreiben.
Ich zeige Dir dies an einer Funktion F(x,y) mit zwei
unabhängigen Variablen x , y. Das Verfahren lässt sich
auf Funktionen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen
ausdehnen.
Es wird vorausgesetzt, dass die Differentiale dx und dy
von x und y konstante Grössen sind.
Ferner wird vorausgesetzt, dass alle auftretenden Ableitungen
von F stetige Funktionen sind.
Dabei werden die partiellen Ableitungen z.B. so bezeichnet:
Fxxy ist die partielle Ableitung von F ( x ,y ) , und zwar
zweimal nach x, einmal nach y u.s.w.
Gesucht werden die sogenannten vollständigen Differentiale
dF , d^2 F, d^3 F , ... d^n F erster, zweiter, dritter,......
allgemein n-ter Ordnung
Resultate:
dF = Fx * dx + Fy * dy, durch Iteration entsteht daraus:
d^2 F = Fxx * dx ^ 2 + 2 * Fxy * dx ^ 2 * dy + Fyy * dy ^ 2 ,
daraus:
d^3 F = Fxxx * dx ^ 3 + 3 * Fxxy * dx ^ 2 * dy +
+ 3 * Fxyy * dx * dy ^ 2 + Fyyy * dy ^ 3 .
usw.
Diese Entwicklung erinnert an den binomischen Lehrsatz .
Tatsächlich stimmen die Koeffizienten mit den Binomialkoeffizienten
überein.
Der Beweis kann mit vollständiger Induktion nach n geführt werden
Diese Angaben sollten Dir vorerst genügen !
Gruss
H.R.Moser,megamath |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 17:03: |
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Hi franz,
Hier ist ein ein einfaches Beispiel aus der Thermodynamik:
Ausgehend von der Gleichung:
¶p ¶V
cp-cv = T (---)v*(---)p
¶T ¶T
kann man unter Berücksichtigung der Beziehung:
¶p ¶V ¶T
(---)T*(---)p*(---)V = -1
¶V ¶T ¶p
umformen zu
¶V
[(---)p]²
¶T V*T*a²
cp-cv = -T --------- = --------
¶V ß
(---)T
¶p
1 ¶V 1 ¶V
wobei a= ---*(---)p und ß = - ---*---(---)T
V ¶T V ¶p
a ist der Wärmeausdehnungskoeffizient für das Volumen
ß ist die Kompressibilität.
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Sascha
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 21:31: |
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Hallo ihr Genies
Ihr habt mir wirklich sehr geholfen!!!
Fern, man merkt, daß du selber mal die Thermodynamik gehört hast. Genau das Beispiel, daß du gegeben hast, wollte ich Franz auch vorführen. Das ist eine der Herleitungen, die ich ohne die Formel nicht hinbekommen hätte.
Auch dem Megamathematiker vielen Dank. Das läuft ja nur darauf hinaus, daß man die Rechengesetzte für Differentialformen benutzt. Bei hinreichender Diffbarkeitsordnung sieht man auch so schnell die Symetrie des k-ten Differentials ein.
Bliebe jetzt nur noch (die wohl eher algebraische) Frage offen, wie man mit diesen höheren Differentialen umgeht.
Trotzdem nochmal vielen Dank
Sascha |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 09:20: |
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Hallo Fern, danke für das interessante Beispiel! (Zumindest die, üblicherweise auf Molvolumen v bezogene, Ausgangsbeziehung für cp-cv würde ich nicht als "einfach" bezeichnen.) Einzige Bedingung der "EULER"regel ist also die Existenz einer Zustandsgleichung f(p,T,V)=0 (Flüssigkeiten und Gase).
Analog kann man statt der isothermen Kompressibilität auch den isochoren Druckkoeffizienten Q:=1/p (Dp/DT)V verwenden und stößt mit a=pQß auf cp-cv = TpvaQ.
Für ideale Gase sind übrigens a(auch alpha)=1/T, ß(auch kappa)=1/T und Q(auch ß)=1/p. F. |
Schemer
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 01:02: |
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Hallo Leute : ( dringende Hilfe )
v ist die Eierlegegeschwindigkeit eines Huhnes, das auf einem Hühnerhof mit der Populationsdichte p und der Höhe h lebt.
so gilt die Gleichung :
1/2uv^2 + p + u*h
u = konstant.
Berechnen sie mit Hilfe des impliziten Funktionensatzes die Änderungsraten
Danke schon im voraus |
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 08:46: |
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Hallo Schemer,
Neue Fragen nicht hinten anhängen sondern neuen Beitrag öffnen! |
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