| Autor |
Beitrag |
    
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 17:46: | 
|
Hallo Leute
Es muesste doch auch moeglich sein, das mit der Definition (e^(ix)-e^(-ix))/2 und (e^(ix)+e^(-ix))/2 zu beweise, aber ich komme nur bis:
(e^(2ix)+e^(-2ix))/2...
vielen Dank im voraus
SPockGeiger |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 19:17: |
|
Hallo SpockGeiger,
sinx=[eix-e-ix]/2i
cosx=[eix+e-ix]/2
sin²x=[e2ix+e-2ix-2]/(-4)
cos²x=[(e2ix+e-2ix+2]/4
sin²x+cos²x=[-e2ix-e-2ix+2+e2ix+e-2ix+2]/4=4/4 = 1
================================================== |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 21:48: |
|
Hi Fern
Danke Dir, hatte ganz vergessen, beim Sinus auch durch i zu teilen...
viele Gtuesse
SpockGeiger |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 12:27: |
|
hallo leute!
kann mir mal einer erklaeren, warum sin x = e^(ix) ist?
ich las davon schon oefter, hab aber noch nie die herleitung gesehen...
danke im vorraus, timo |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 13:38: |
|
Hi Timo
Ich setze jetzt mal vorraus, dass Du Dich wenigstens ein wenig mit komplexen Zahlen auskennst, wenn nicht, dann sag es, und ich muss dann noch einiges dazu erklaeren.
Also: An der Uni haben wir die trigonometrischen Funktionen schlichtweg folgendermassen definiert:
sinx=Im(e^(ix)) cosx=Re(e^(ix))
Wenn man dort folgende Rechenregeln einsetzt, die leicht nachzurechnen sind [ k(x) heisst x konjugiert, einen Querstrich kriege ich hier nicht hin...]
Re(z)= (z+k(z))/2 Im(z)=(z-k(z))/2i
und wenn man beruecksichtigt, dass in den ersten beiden Gleichungen x reel ist, d.h. k(x)=x, und k(i)=-i, und, dass, wenn man die Exponentialfunktion konjugiert, man ebensogut das Argument konjugieren kann, bekommt man raus:
sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/2i cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2
Warum diese beiden Funktionen genau die sind, die Seitenverhaeltnisse in Dreiecken beschreiben, wurde mich ehrlich gesagt auch mal interessieren, also reichen wir diese Frage mal weiter...
viele Greusse
SpockGeiger |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 14:35: |
|
vielen dank erstmal, aber meine kenntnisse von komplexen zahlen sind doch wohl nicht auszreichend...
woher weiss man, dass, wenn man die exponentialfkt. konjugiert, man eigentlich nur das argument konjugieren braucht?
auf jeden fall kann man den beweis fuer das produkt zweier komplexer zahlen in der polarschreibweise so seeeehr viel einfacher machen. ich versuchte es mit der koordinatenschreibweise und habe ein paar tage dafuer gebraucht!
timo |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 14:49: |
|
Hi Timo
Die Konjugation funktioniert, weil die Exponentialfunktion eine unendliche Reihe ist, in der man die Gestze der Konjugation anwenden kann.
Erklaer mir doch bitte, was fuer einen Produktbeweis Du meinst...
viele Gruesse
SpockGeiger |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 15:38: |
|
oooh, inwiefern ist die exponentialfkt. eine unendliche? meinst lim n->oo (1+1/n)^n ???
mit produktbeweis meine ich den beweis, dass das produkt zweier komplexer zahlen in der polarschreibweise das produckt der beiden betraege und die summe der beiden winkel ist:
r1(cos alpha1 + isin alpha2) * r2(cos alpha2 + isin alpha2)=r1+r2(cos (alpha1+alpha2)+isin(alpha1+alpha2))...
diesen beweis fand ich wie gesagt nicht soooo einfach. mit dieser schreibweise (sin x = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i) ist der beweis viel einfacher.
timo |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 19:10: |
|
Hi Timo
Erstmal muss ich Dich leider korrigieren, Deine Reihe konvergiert gegen exp(1)=e, die e-Funktion in dieser Form lautet lim (1+x/n)^n.
Die, die ich meine, ist aber Reihe, sprich eine unendliche Summe:
Sunendlich k=1 xk/k!
Noch eine Anmerkung: Bei solchen Beweisserien von Saetzen, die schon bewiesen sind, gibt es ein Problem mit der Reihenfolge, man schafft es schnell, im Kreis zu beweisen. Mal angenommen, um sin und cos zu definieren, brauchte man schon die Polarschreibweise, dann hast Du wiederum ein Problem, aber ich glaube, hier ist das nicht der Fall (ausserdem ist es eh egal, da alles schon bewiesen ist, und demnach wahr )
viele Gruesse
SpockGeiger |
|
