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Gleichungssystem lösen..

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Stiftpritt
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 11:40:   Beitrag drucken

Hallo, kann mir vielleicht jemand bei der folgenden Aufgabe helfen ?
Für welchen Wert s besitzt das Gleichungssystem
a) keine Lösung
b) genau eine Lösung
c) unendlich viele Lösungen ?

(3+s)x- y- 3z = -2
5x+(s-2)y- 4z = -1
3x- y+(s-3)z = -3

Danke im voraus für Eure Hilfe
Alexander
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Bernd
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 20:04:   Beitrag drucken

Hier schonmal die Werte von s, die nicht Fall b) zur Folge haben können:

s=0 oder s=1, für diese Werte hat die Determinante der Koeffizienten der linken Seite
den Wert Null, das heißt, wenn sie nach der Cramerschen Regel im Nenner stünde, stünde dort eine Null, was schonmal bedeutet, dass es entweder keine Lösung geben kann, falls der Zähler ungleich Null ist (also Fall a); oder, falls der Zähler auch gleich Null ist, eine beliebige Lösung (Fall c)

weiteres folgt...
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Bernd
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 20:17:   Beitrag drucken

Jetzt berechne die Determinante einer Matrix, die so aussieht:

-2 -1 -3
-1 s-2 -4
-3 -1 s-3

sie ist folgendermaßen zustandegekommen:
die Koeffizienten der y und z kommen in die 2. und 3. Spalte, die Zahlen von der rechten Seite
kommen in die 1. Spalte.
Der Wert Dx dieser Determinante muss durch die Determinante D der "Original"-Koeffizientenmatrix,
D=s(s²-2s+1), geteilt werden, dann kommt nach der Cramer-Regel der Wert von x raus.
Das geht natürlich nur, wenn D=s(s²-2s+1) ungleich Null ist, sollte aber das jetzt erhaltene Dx auch gleich Null werden, kann x jeden beliebigen Wert annehmen.
Ist dies für y und z auch erfüllt, also Dy=0 und Dz = 0 , dann ist der Fall c) eingetreten.
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Bernd
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 20:47:   Beitrag drucken

Wenn man die Determinante Dx ausrechnet, ergibt sich der Wert Dx = -2s²+2
Dies ist gleich Null für s=1, also wäre für s=1 schonmal der Fall c) bzgl. x eingetreten, es muss natürlich jetzt nicht so sein, dass für y und z dann auch beliebig viele Lösungen existieren.

für s ungleich 1 heißt dies aber, dass bei der Ausführung der Division x=Dx/D eine Zahl ungleich Null durch Null geteilt wird, was bedeutet, dass keine Lösung existiert, also Fall a)
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Bernd
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 21:34:   Beitrag drucken

Die Determinante Dy ergibt sich, wenn man in der mittleren Spalte die Zahlen von der rechten Seite einträgt:

3+s | -2 | -3
5 | -1 | -4
3 | -3 | s-3

Dy hat den Wert Dy = -s² - 2s + 3, was dann gleich Null ist, wenn s = 1 oder s = -3 ist.
also gibt es für s=1 beliebig viele Lösungen für y.
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Bernd
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 21:37:   Beitrag drucken

Ich vermute mal, dass auch Dz für s=1 gleich Null werden wird, aber ich überlasse dir erstmal den Ansatz zur Lösung und melde mich am Montag wieder.

Für alle anderen Zahlen außer s = 1 hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, also Fall b)
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Bernd
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 21:39:   Beitrag drucken

P. S. und wie schon um 21:04 Uhr behauptet, außer für s=0 natürlich.
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Bernd
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Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 19:33:   Beitrag drucken

Stiftpritt, schade, dass du dich nicht mehr gemeldet hast, hätte gern gewusst, ob's a)geholfen hat und b) keine Rechenfehler hatte.
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Feierer
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 07:40:   Beitrag drucken

Ihr seid doch alles Halbtote!!!
Es lebe die höhere Blödheit!
Grüße alle Feierleute, es lebe die
Revolution und das U60311!

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